船舶结构力学---第二章-单跨梁的弯曲理论

1896192019872006船舶结构力学船舶结构力学第二章单跨梁的弯曲理论主讲教师：薛鸿祥2第二章单跨梁的弯曲理论第二章单跨梁的弯曲理论2-1梁的弯曲微分方程式及其积分2-2梁的支座及边界条件2-3梁的弯曲要素表及应力计算2-4剪切对梁弯曲变形的影响2-5梁的复杂弯曲2-6弹性基础梁的弯曲2-7*梁的弹塑性分析3梁的弯曲微分方程式及其积分梁的弯曲微分方程式及其积分梁：受外荷发生弯曲的构件单跨梁：仅两端有支座支持的梁（特殊情况：悬臂梁）单跨梁的弯曲问题：已知梁的尺寸、支持情况和外载荷条件下，求梁弯曲时变形和应力船体骨架大多数受载发生弯曲变形，各杆件可视为梁。杆件体系可拆为单跨梁进行分析。4梁的弯曲微分方程式梁的弯曲微分方程式基本假定平断面假定小变形假定：挠度远小于梁的高度单向受力假定：层间不挤压σy=0在xOy平面内发生弯曲的单跨梁：挠度v，挠曲线v(x)5几何方程几何方程小变形（小挠度）y221ddvx22ddvyx变形关系几何方程：6物理方程物理方程22ddvEEyx胡克定律（线弹性）E：材料的弹性模数。对于钢材E=2×105N/mm2E：材料的弹性模数。对于钢材E=2×105N/mm27梁断面上弯曲正应力合力为零梁断面面积对z轴静矩为零，中性轴通过断面的形心梁断面上弯曲正应力合力矩等于断面弯矩梁的挠度与弯矩之间的微分关系静力平衡关系静力平衡关系22ddd0d0dAAAvAEyAyAx222ddddAAvEIMIMyxyAA，8受分布载荷微段的平衡静力平衡关系静力平衡关系y方向力的平衡力矩的平衡梁的弯曲微分方程式22ddddddvEINxMNxx2222ddddddvEIqxNqxx9正方向定义：挠度v——向下为正（y正向）转角θ=dv/dx——顺时针为正剪力N——左下右上弯矩M——左逆右顺（中拱）符号体系符号体系NNMM10梁弯曲微分方程式的解梁弯曲微分方程式的解等断面梁逐次积分求解，积分常数为初参数承受分布载荷等断面直梁的挠曲线方程弯曲要素：挠度v，转角θ，弯矩M，剪力N234000000001d26xxxxMxNxvvxqxEIEIEI11若没有外载荷，弯曲要素只与初参数相关集中力集中力矩3()6bPxbEI2()2axaEIMMaxybPO12分布载荷3()()d6xccqxEIcxdq(x)d()dq13挠曲线通用方程式232300003()()2626()()d6xcabcMxNxPvvxxaxbEIEIEIEIqxEIMxPyOabcdq(x)M14（1）自由支持在刚性支座上（简支或铰支）梁的支座及边界条件梁的支座及边界条件边界条件梁端部弯曲要素的特定值或弯曲要素之间的特定关系00vv，15（2）刚性固定在刚性支座上（固支）梁的支座及边界条件梁的支座及边界条件00vv，16vAEIvvAEIv左：右：（3）弹性支座（v=AR）弹性支座柔度系数讨论（无穷或为零）梁的支座及边界条件梁的支座及边界条件AAvvRR17（4）弹性固定端（θ=αM）梁的支座及边界条件梁的支座及边界条件vEIvvEIv左：右：MM弹性固定端柔度系数讨论（无穷或为零）1800vAEIvvvAEIvv左：，右：，（2）刚性固定在刚性支座上（4）刚性固定在弹性支座上（6）悬空（1）自由支持在刚性支座上（3）自由支持在弹性支座上（5）弹性固定在刚性支座上梁的支座及边界条件梁的支座及边界条件弹性固定在弹性支座上vAEIvvEIvvAEIvvEIv左端：，；右端：，0,00Avv，0,000Avv，000vAEIvvvAEIvv左：，右：，000vvEIvAvvEIv左：，右：，,0000AvvMN，，19求解步骤1.根据单跨梁受载情况，建立含有4个初参数的挠曲线方程；2.列左端边界条件并代入，将挠曲线方程化简；3.列右端边界条件，得到求解剩余初参数的方程并求解；4.写出挠曲线具体表达形式，据题意求相应的弯曲要素。初参数法求解单跨梁弯曲要素初参数法求解单跨梁弯曲要素20初参数法求解单跨梁弯曲要素初参数法求解单跨梁弯曲要素例1xlyOq21初参数法求解单跨梁弯曲要素初参数法求解单跨梁弯曲要素例2l/2PAyxl/2α22初参数法求解单跨梁弯曲要素初参数法求解单跨梁弯曲要素例3xΔly23常用单跨梁的弯曲要素表附录A（表A-1~表A-6）叠加原理：小变形+虎克定律弯曲要素与外载成正比弯矩图和剪力图：叠加求得梁的弯曲要素表及应力计算弯曲要素表的应用24悬臂梁悬臂梁25两端自由支持梁两端自由支持梁26两端自由支持梁（续）两端自由支持梁（续）27两端自由支持梁（续）两端自由支持梁（续）28一端简支，一端固支梁一端简支，一端固支梁29两端固支梁两端固支梁30两端固支梁（续）两端固支梁（续）31叠加原理：小变形+虎克定律弯曲要素与外载成正比弯矩图和剪力图：叠加求得梁的弯曲要素表及应力计算弯曲要素表的应用32梁的弯曲要素表及应力计算例1求梁的中点挠度、端点转角，画剪力弯矩图P22vmv11vml/2l/2Pvm=0.2Plm=0.2Pl33梁的弯曲要素表及应力计算例2求梁的中点挠度、右端转角，画剪力弯矩图QPl/2P=Q/3QPl/2M34梁的弯曲要素表及应力计算例3ml/2l/2m22M11M刚性固定端=简支+适当弯矩刚性固定端=简支+适当弯矩35梁的弯曲要素表及应力计算例4弹性支座力的计算与刚性支座一样，挠度和转角的影响需叠加弹性支座力的计算与刚性支座一样，挠度和转角的影响需叠加l/2PAl/2Pv1M(3)lEI3(48)AlEI36梁的应力计算弯曲应力MyIdxy2h2hb37梁的应力计算剪应力/2dhyNSSyAIb，船用薄壁工字钢maxwNAdxddy2h2hb矩形断面矩形断面38剪切对梁弯曲变形的影响剪切对梁弯曲变形的影响基本概念平断面假定EIvM挠度仅由弯矩引起挠度仅由弯矩引起剪应力的影响dv2dv2dxdx2ddsvNxGA39剪切对梁弯曲变形的影响剪切对梁弯曲变形的影响剪切引起的挠度计算基本思路1）不改变基本关系2）求出梁的剪应力，单独考虑剪应力产生的弯曲变形v23）将剪切变形v2与不考虑剪力时的结果v1相加——剪切修正1EIvM40剪切对梁弯曲变形的影响剪切对梁弯曲变形的影响计算公式计算公式32121()()62ssEIaxbxEIvvvfxfxcaxdGAGA400001()dxxxxfxqxEIa,b,c,d1为积分常数，由边界条件定a,b,c,d1为积分常数，由边界条件定321()62axbxvfxcxd22()sEIvfxaxcGA应用边界条件时，需注意：•梁的挠度：v=v1+v2•梁断面的转角：θ=v1′•梁的弯矩和剪力：M=EIv1″，N=EIv1‴应用边界条件时，需注意：•梁的挠度：v=v1+v2•梁断面的转角：θ=v1′•梁的弯矩和剪力：M=EIv1″，N=EIv1‴41例题自由端受集中力作用的悬臂梁，考虑剪切的影响求挠度。PPxxyyll42梁的复杂弯曲TTMqdvdxN+dNM+dMNddNqxTxxTNMTq(x)TyddddMvNTxx43弯曲微分方程：梁等断面且轴力沿长度不变：通解为整理得（无外载）复杂弯曲微分方程式（轴向拉力）复杂弯曲微分方程式（轴向拉力）qvTEIvIV000023shch1shMNvvkxkxkxkxkEIkEIk2222ddddvEIqTvxx1234chshvAAkxAkxAkxTkEI44承受任意横向载荷梁的挠曲线公式（轴向拉力）000023233sh(ch1)(sh)ch()1sh()()()dsh()()abxccMNvvkxkxkxkxkEIkEIkPkxakxbkxbEIkEIkqkxkxEIkM当xd时，积分上限为dTTxMyabcdPq(x)TkEI45承受任意横向载荷梁的挠曲线公式（轴向压力）****0000**2*3****2*3***3sh(1cos)(sin)1cos()()sin()()d()sin()abxccMNvvkxkxkxkxkEIkEIkPkxakxbkxbEIkEIkqkxkxEIkM当xd时，积分上限为d**TkEIq(x)T*T*xMyabcdP46复杂弯曲梁初参数法求解复杂弯曲梁初参数法求解求解步骤1.根据梁受载情况，写出含有4个初参数的挠曲线方程；2.列左端边界条件并代入，将挠曲线方程化简；3.列右端边界条件，得到求解剩余初参数的方程并求解；4.写出挠曲线具体表达形式，据题意求相应的弯曲要素。注意：用到剪力边界条件时NEIvTv47例题两端自由支持并受轴向拉力T作用的梁受均布载荷q，求弯曲要素。xlTqyT30(0)()()24qlvvluEI405()()2384lqlvfuEI20()()28lqlMu48复杂弯曲梁的弯曲要素表及叠加原理复杂弯曲梁的弯曲要素表及叠加原理复杂弯曲梁的弯曲要素表附录B（表B-1~表B-4）复杂弯曲梁的叠加原理当轴向力不变时（u为常数），弯曲要素与横向荷重成线性关系，可应用叠加原理求解复杂弯曲梁。EITlklu2249轴向力对梁弯曲要素的影响轴向力对梁弯曲要素的影响轴向拉力使梁的弯曲要素减少（u=0时，辅助函数值等于1；随u增加，辅助函数值减小，小于1）轴向压力使梁的弯曲要素增加（u*=0时，辅助函数值等于1；随u*增加，辅助函数值增加，大于1；当u*=/2时，辅助函数值趋于无穷，梁失去稳定性）船体骨架u0.5，轴向力对弯曲要素影响可不计。50弹性基础梁的弯曲弹性基础梁除两端支座外，整根梁置于弹性地基或弹性基础之上k51船坞墩木上船体船坞墩木上船体52弯曲微分方程：等断面：方程通解：积分常数：弹性基础梁弯曲微分方程式弹性基础梁弯曲微分方程式kvqxvEIx2222ddddqkvEIvIV1234chcoschsinshcosshsinvCxxCxxCxxCxx0010230003432,24,242NCvCEINMCCEIEI44kEI530123()=chcos1()(chsinshcos)2()shsin1()(chsinshcos)2VxxxVxxxxxVxxxVxxxxx普日列夫斯基函数普日列夫斯基函数54普日列夫斯基函数的循环微分关系和特殊值普日列夫斯基函数的循环微分关系和特殊值10213203()2()()2()()2()()2()VxVxVxVxVxVxVxVx000011112222233333(0)1(0)0(0)0(0)0(0)0(0)2(0)0(0)0(0)0(0)0(0)2(0)0(0)0(0)0(0)0(0)22VVVVVVVVVVVVVVVV，，，，，，，，，，，，55承受任意横向载荷弹性基础梁的挠曲线公式xPyOakbcdq(x)M