平面向量的正交分解及坐标表示

回顾平面向量基本定理：12121122+eeaaee如果、是同一平面内的两个线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，可使不共12ee这里不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.1122+aee1122+aee这就是说平面内任一向量都可以表示成的形式课题：平面向量的正交分解及坐标表示学习导航：平面向量基本定理告诉我们，平面内所有向量可以用平面的一组基底表示出来，以化归与转化为思想达到化繁为简的目标；那么恰当的选择基底（尽可能特殊化的基底），将带来更加便利的向量表示及运算。把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解1FG2F重力产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力.也就是说，重力的效果等价于和得合力效果，即G1F2FG12.GFF=+1F2F把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量是两个互相垂直且长度分别为2，1的向量，向量与的夹角是30°，且，以向量为基底，向量如何表示？1e1ea4aaBOAPa1e2,e1e2,e有何优越性？表示的结果是什么，的长度都为若该题中的基底?1,21aeeABCDoxyija如图，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以为基底，则,ij,ij.aa=i+xjyxy对于该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，可使i=j=0=（1，0）（0，1）（0，0）(,)axy①其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示.aa这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作aaABCDoxyija概念理解OxyAijaxya=xi+yjOA=xi+yj1．以原点O为起点作，点A的位置由谁确定?OAa由唯一确定.a2．点A的坐标与向量的坐标的关系？两者相同向量坐标（x，y）一一对应OxyAijaxyaa例1.如图，分别用基底，表示向量、、、，并求出它们的坐标。ijabcdAA1A2解：如图可知1223aAAAAij(2,3)a同理23(2,3);23(2,3);23(2,3).bijcijdij思考：已知，你能得出的坐标吗？1122(,),(,)axybxy,,ababa平面向量的坐标运算：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）12121212(,)(,)abxxyyabxxyy11(,)axy实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标例３.如图，已知，求的坐标。1122(,),(,)AxyBxyABxyOBA解：ABOBOA2211(,)(,)xyxy2121(,)xxyy一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。思考:你能在上图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的Ｐ点吗？例2.已知，求的坐标。(2,1),(3,4)ab,,34ababab例3.如图，已知的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。ABCDABCDxyO解法１：设点D的坐标为（x,y）(1,3)(2,1)(1,2)(3,4)(,)(3,4)ABDCxyxyABDC且(1,2)(3,4)xy1324xy解得x=2,y=2所以顶点D的坐标为（2，2）例4.如图，已知的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。ABCDABCDxyO解法２例4.如图，已知的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。ABCDABCDxyO解法2解法2：由平行四边形法则可得(2(1),13)(3(1),43)(3,1)BDBABC而(1,3)(3,1)(2,2)ODOBBD所以顶点D的坐标为（2，2）ABCDoxyija小结1:平面向量的坐标表示如图，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以为基底，则,ij,ij+aaijxyxy对于该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，可使这里，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作a(,)axy①其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。aa•小结2:平面向量的坐标运算：12121212(,)(,)abxxyyabxxyy11(,)axy