数学建模(关于气象站的合理建设)论文

1调整气象观测站问题摘要目前资源的优化配置和有效的利用资源是非常重要的，本文是针对某市气象观测站点的合理规划来进行数学模型的，根据已有的数据对该市气象观测站之间的相互关系和拟合程度进行了分析；借助EXCEL，MATLAB等软件进行数据的预处理，使得站点的选择问题得到了很好解决。模型1：通过假设相关系数的下限值，确定哪些站点有可能在信息损失率低的前提下，能够相互之间得到气象信息。模型2：从模型1的结论出发，对每种可能的方案，采用枚举法将各种情况列举了出来，然后将各种情况所得的均值与真实的均值进行比较，讨论其数据的相似程度以及误差的波动状况。关键词：优化气象观测站相关系数误差的绝对值方差2一、问题的提出某市有10个县，每个县有一个气象观测站，每个气象观测站测得的年降水量即为该县的年降水量。30年来各观测站测得的年降水量如附件。为了节省开支，想要适当减少气象观测站，通过建立数学模型使减少的观测站既可以节省开支，又可以使得该市年降水量的信息量损失较小。建立模型的过程中需要解决以下的几个问题:1．有人认为第7个观测站和第8个观测站观测到的数据之间有相关关系，第7个观测站可以减少，第7个观测站的年降水量信息可以从第8个观测站观测到的数据中获取，试讨论之。2．还有哪些观测站可以减少，减少的观测站的年降水量信息如何获取。3．如果以10个县年降水量的平均值为该市年平均降水量。在减少观测站以前，每个县年降水量都是观测数据。在减少观测站以后，被减少的观测站的年降水量只能从其它观测站观测到的数据中获取。减少观测站以前和减少观测站以后是用两种不同测量计算方法得到该市年平均降水量。两种不同测量计算方法得到的该结果会有误差，试预测误差的绝对值小于10mm的概率是多少？误差的绝对值大于20mm的概率是多少？二、模型假设1、若ρij≥0.85则i县或者j县气象观测站可以作为二者共同的观测站。（其中ρij是i县与j县的相关系数）2、各县建气象观测站的花费是相同的，不随地理的不同而改变。3、假设预测误差的绝对值满足正态分布，当m值比较大时服从中心极限定理。三、符号说明ij---------------表示i县与j县m年降雨量的相关系数ji,cov-------表示i县与j县m年降雨量的协方差jDiD,-------表示i县，j县m年降雨量的方差---------------表示各县之间m年内降雨量的相关系数矩阵3SSji,--------表示选择气象站i和气象站j时该市年均降水量的标准差P--------------表示概率NNji,---------表示出现小于θ值的次数注：其余的符号在文中有解释四、数学模型1、减少气象观测站的判断模型设该市有n个县，间有n个气象观测站，已经获得了m年内n个气象观测站的年降水量。根据假设条件1，可知相关系数ρij≥0.85则i县或j县气象观测站可作为二者的共同的气象观测站。jDiDjiij,cov由公式易知jiij根据排列与组合关系可得到CnN2种相关系数由这些系数得到的相关系数矩阵11121221112nnnn在矩阵ρ矩阵中若ρij≥0.85则认为i县或j县气象观测站可作为二者的共同的气象观测站。2、优化气象观测站模型2.1上述1模型可获得哪些县之间可以互相预测年降水量，为了简化模型，我们假设1模型中只有ρij≥0.85，那么究竟是取i县还是j县作为共同的预测站，就是该模型要解决的问题。（1）根据ρ来判断设减少气象观测站之前该市m年的年平均降水量为X（它是一个m﹡1维的矩阵），减少气象观测站i后该市m年的年平均降水量为Xi（与X一样），减少气象观测站j后该市m年的年平均降水量为Xj（与X一样）。由公式jDiDjiij,cov可计算出i和j，若ji,则认为气象观测站i是合理的，反之，则认为认为气象观测站j是合理的。（2）根据方差2S的大小来判断4设减少气象观测站之前该市第k年的年平均降水量为Xk,减少气象观测站i后该市第k年的年平均降水量Xik，减少气象观测站j后该市第k年的年平均降水量Xjk.由公式1122nmkkikixxS1122nmkkjkjxxS可计算出Si，Sj，若SiSj，则认为气象观测站i是合理的，反之，则认为认为气象观测站j是合理的。2.2根据假设3来判断预测误差的绝对值在某种范围的概率。（1）若选择气象观测站i，令X1k（它是一个m﹡1维的矩阵）是减少气象观测站之后与减少气象观测站之前，第k年误差的绝对值。易知xxxkikk1由公式mmkkikkxxx111121mmkkikkixxxS由上述的两式可得预测误差的绝对值小于θ的概率为：psxik1当m较大时，可以通过中心极限定理来预测误差的绝对值小于θ的概率：mPni/（2）若选择气象观测站j，令X2k（它是一个m﹡1维的矩阵）是减少气象观测站之后与减少气象观测站之前，第k年误差的绝对值。易知xxxkjkk2由公式mmkkjkkxxx121122mmkkjkkjxxxS5由上述的两式可得预测误差的绝对值小于θ的概率为psxjk2当m较大时，可以通过中心极限定理来预测误差的绝对值小于θ的概率：mPnj/五、模型求解1、根据附件1上的数据带入模型1中可以得到78=0.9522680.85，其相关的程度很大，因此可以认为：第7个观测站的年降水量信息可以从第8个观测站观测到的数据中获取2、通过模型1可以得到相关系数矩阵ρ见附件23、通过模型1确定了23=0.906422，67=0.872387，68=0.952268，78=0.903197.根据相关系数数据可知在第2个县与第3个县可以减少一个，第6，7，8个县可以减少1个或2个，其相关的程度可以用下图显示：观测站2、31976-2005年降水量折线图01002003004005006007008001357911131517192123252729年份降水量/mm系列1系列26观测站6、71976-2005年降水量折线图01002003004005006007008001357911131517192123252729年份年降水量/mm系列1系列2观测站7、81976-2005年降水量折线图01002003004005006007008001357911131517192123252729年份年降水量/mm系列1系列2观测站6、81976-2005年降水量折线图01002003004005006007008001357911131517192123252729年份年降水量/mm系列1系列2那么最后保留的气象观测站可能的情况有：7方案第一种方案1,2,4,5,6,9,10第二种方案1,2,4,5,7,9,10第三种方案1,2,4,5,8,9,10第四种方案1,3,4,5,6,9,10第五种方案1,3,4,5,7,9,10第六种方案1,3,4,5,8,9,10第七种方案1,3,4,5,7,8,9,10第八种方案1,3,4,5,6,8,9,10第九种方案1,3,4,5,6,7,9,10第十种方案1,2,4,5,7,8,9,10第十一种方案1,2,4,5,6,8,9,10第十二种方案1,2,4,5,6,7,9,10注：xx101101分别为各种方案的均值与真实值对比图见附件3根据各种方案其相关系数有如下图：各种方案的相关系数对比0.840.860.880.90.920.940.960.981123456789101112方案相关系数（1）根据ρ来判断第一种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量X1（与X一样）是第一种方案的市年平均降水量。则1xx=0.889324第二种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X2（与X一样）是第二种方案的市年平均降水量。则2xx=0.9068758第三种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X3（与X一样）是第三种方案的市年平均降水量。则3xx=0.892972第四种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X4（与X一样）是第四种方案的市年平均降水量。则4xx=0.891994第五种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X5（与X一样）是第五种方案的市年平均降水量。则5xx=0.907779第六种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X6（与X一样）是第六种方案的市年平均降水量。则6xx=0.897145根据上述的结果在保留7个气象站时候，可知5xx=0.907779最大，与减少气象站之前的相似程度要大些，所以确定要在市内X1,X3,X4,X5,X7,X9,X10县内建立气象观测站是最优的。第七种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X7（与X一样）是第七种方案的市年平均降水量。则7xx=0.973944第八种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X8（与X一样）是第八种方案的市年平均降水量。则8xx=0.967564第九种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X9（与X一样）是第九种方案的市年平均降水量。则9xx=0.972815第十种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X10（与X一样）是第十种方案的市年平均降水量。则10xx=0.970764第十一种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X11（与X一样）是第十一种方案的市年平均降水量。则11xx=0.963006第十二种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X12（与X一样）是第十二种方案的市年平均降水量。则12xx=0.9712599根据上述的结果，在保留8个气象站时候，可知7xx=0.973944最大，与减少气象站之前的相似程度要大些，所以确定要在市内X1,X3,X4,X5,X7,X8,X9,X10县内建立气象观测站是最优的。（2）根据方差来判断各种方案的方差对比图如下：各种方案方差对比0100200300400500600123456789101112方案各种方差各种方案误差的绝对均值对比如下图：各种方案误差的绝对均值0510152025303540123456789101112方案误差的绝对均值也是如上图的方案：第一种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X1（与X一样）是第一种方案的市年平均降水量。令x1为减少气象站之后每年的市年平均降水量与减少气象站之前每年的市年平均降水量之差的绝对值。Sx1=276.6第二种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X2（与X一样）是第一种方案的市年平均降水量。令x2为减少气象站之后每年的市年平均降水量与减少气象站之前每年的市年平均降水量之差的绝对值。Sx2=304.310第三种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X3（与X一样）是第一种方案的市年平均降水量。令x3为减少气象站之后每年的市年平均降水量与减少气象站之前每年的市年平均降水量之差的绝对值。Sx3=227.6第四种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象站之前每年的市年平均降水量，X4（与X一样）是第一种方案的市年平均降水量。令x4为减少气象站之后每年的市年平均降水量与减少气象站之前每年的市年平均降水量之差的绝对值。Sx4=493.1第五种方案：设X（它是10*1维矩阵）是在减少气象