多目标规划

多目标规划是数学规划的一个分支。研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。又称多目标最优化。通常记为MOP(multi-objectiveprogramming)。在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。1896年法国经济学家V.帕雷托最早研究不可比较目标的优化问题，之后，J.冯·诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克、A.M.日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全令人满意的定义。多目标规划方法求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。多目标规划模型（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成：（1）两个以上的目标函数；（2）若干个约束条件。（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描写为如下形式：一多目标规划及其非劣解)(max(min))(max(min))(max(min))(XfXfXfXFZk21mmgggGXXXX2121)()()()(s.t.式中：为决策变量向量。TnxxxX],,,[21)(max(min)XFZGXts)(..缩写形式：有n个决策变量，k个目标函数，m个约束方程，则：Z=F(X)是k维函数向量，(X)是m维函数向量；G是m维常数向量；（1）（2）对于线性多目标规划问题，可以进一步用矩阵表示：CXZmax(min)bAXs.t.式中：X为n维决策变量向量；C为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；A为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵；b为m维的向量，即约束向量。多目标规划的非劣解多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小），而不顾其它目标。对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择：▲每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？▲每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决？)(max(min)XFZGX)(s.t.在图1中，max(f1,f2).就方案①和②来说，①的f2目标值比②大，但其目标值f1比②小，因此无法确定这两个方案的优与劣。在各个方案之间，显然：④比①好，⑤比④好,⑥比②好,⑦比③好……。非劣解可以用图1说明。图1多目标规划的劣解与非劣解而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们就被称为多目标规划问题的非劣解或有效解，其余方案都称为劣解。所有非劣解构成的集合称为非劣解集。当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。效用最优化模型理想点模型约束模型目标达到法目标规划模型二多目标规划求解为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现这种转化，有如下几种建模方法。)(maxXZGXts)(..是与各目标函数相关的效用函数的和函数。方法一效用最优化模型（线性加权法）（1）（2）思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值i来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：kiii1max),,2,1(),,(21migxxxinikii11TmaxGXts)(..式中，i应满足：向量形式：方法二理想点模型（罚款模型）思想:规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值（或称满意值）；通过比较实际值fi与期望值fi*之间的偏差来选择问题的解，其数学表达式如下：i21)(minkiiiiffZ),,2,1(),,,(21migxxxini或写成矩阵形式：)()(minFFAFFZTGX)(式中，是与第i个目标函数相关的权重；A是由(i=1,2,…,k)组成的m×m对角矩阵。i理论依据：若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围，则该目标就可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题：方法三约束模型（极大极小法）),,,(max(min)211nxxxfZ),,2,1(),,,(21migxxxini),,3,2(maxminkjfffjjj方法四目标达到法首先将多目标规划模型化为如下标准形式：)()()(min)(min21XfXfXfxFk000)()()()(21XXXXm在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想化的期望目标fi*(i=1,2,…,k),每一个目标对应的权重系数为i*(i=1,2,…,k)，再设为一松弛因子。那么，多目标规划问题就转化为：,minX),,2,1(,)(*kifXfiii),,2,1(0)(miXi)()()(min)(min21XfXfXfxFk000)()()()(21XXXXm目标规划(Goalprogramming)目标规划的数学模型目标规划的图解法目标规划的单纯形法目标规划概述目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。2、线性规划求最优解；目标规划是找到一个满意解。1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可求得更切合实际的解。一、目标规划概述（一）、目标规划与线性规划的比较4、线性规划的最优解是绝对意义下的最优，但需花去大量的人力、物力、财力才能得到；实际过程中，只要求得满意解，就能满足需要（或更能满足需要）。3、线性规划中的约束条件是同等重要的，是硬约束；而目标规划中有轻重缓急和主次之分，即有优先权。目前，已经在经济计划、生产管理、经营管理、市场分析、财务管理等方面得到了广泛的应用。例一、某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，已知资料如表所示。试制定生产计划，使获得的利润最大？同时，根据市场预测，甲的销路不是太好，应尽可能少生产；乙的销路较好，可以扩大生产。试建立此问题的数学模型。12070单件利润3000103设备台时200054煤炭360049钢材资源限制乙甲单位产品资源消耗（二）、目标规划的基本概念设：甲产品x1，乙产品x2一般有：maxZ=70x1+120x29x1+4x2≤36004x1+5x2≤20003x1+10x2≤3000x1，x2≥0同时：maxZ1=70x1+120x2minZ2=x1maxZ3=x29x1+4x2≤36004x1+5x2≤20003x1+10x2≤3000x1，x2≥0显然，这是一个多目标规划问题，用线性规划方法很难找到最优解。目标规划通过引入目标值和偏差变量，可以将目标函数转化为目标约束。目标值：是指预先给定的某个目标的一个期望值。实现值或决策值：是指当决策变量xj选定以后，目标函数的对应值。偏差变量（事先无法确定的未知数）：是指实现值和目标值之间的差异,记为d。正偏差变量：表示实现值超过目标值的部分，记为d＋。负偏差变量：表示实现值未达到目标值的部分，记为d－。1、目标值和偏差变量当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0,d－＝0当未完成规定的指标则表示：d＋＝0,d－≥0当恰好完成指标时则表示：d＋＝0,d－＝0∴d＋×d－＝0成立。引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问题有了新的限制，既目标约束。目标约束即可对原目标函数起作用，也可对原约束起作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达到目标值，故有d＋×d－＝0,并规定d＋≥0,d－≥02、目标约束和绝对约束绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等式或不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。例如：在例一中，规定Z1的目标值为50000,正、负偏差为d＋、d－,则目标函数可以转换为目标约束，既70x1+120x2＋＝50000，同样，若规定Z2＝200，Z3＝250则有11dd200221ddx250332ddx)3.2.1(0,jddjj若规定3600的钢材必须用完，原式9x1+4x2≤3600则变为0,360049444421ddddxx达成函数是一个使总偏差量为最小的目标函数，记为minZ=f（d＋、d－）。一般说来，有以下三种情况，但只能出现其中之一：⑴.要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量要尽可能小，则minZ=f（d＋＋d－）。⑵.要求不超过目标值，即允许达不到目标值，也就是正偏差变量尽可能小，则minZ=f（d＋）。⑶.要求超过目标值，即超过量不限，但不低于目标值，也就是负偏差变量尽可能小，则minZ=f（d－）。对于由绝对约束转化而来的目标函数，也照上述处理即可。3、达成函数（即目标规划中的目标函数）优先因子Pk是将决策目标按其重要程度排序并表示出来。P1P2…PkPk+1…PK，k=1.2…K。权系数ωk区别具有相同优先因子的两个目标的差别，决策者可视具体情况而定。对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现，有些可能就不能实现。4、优先因子（优先等级）与优先权系数5、满意解（具有层次意义的解）若在例一中提出下列要求：1、完成或超额完成利润指标50000元；2、产品甲不超过200件，产品乙不低于250件；3、现有钢材3600吨必须用完。试建立目标规划模型。分析：题目有三个目标层次，包含四个目标值。第一目标：第二目标：有两个要求即甲，乙，但两个具有相同的优先因子，因此需要确定权系数。本题可用单件利润比作为权系数即70:120，化简为7:12。11dP32dd)127(322ddP例二、第三目标：)(443ddP)4.3.2.1(0.,030001032000543600492502005000012070)()127(min2121214421332221112144332211jddxxxxxddxxddxddxddxxddPddPdPZjj目标规划模型为：某厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，有关数据如表所示。试求获利最大的生产方案？ⅠⅡ拥有量原材料2111设备(台时)1210单件利润810在此基础上考虑：1、产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量；2、充分利用设备有效台时，不加班；3、利润不小于56元。解:分析第一目标：即产品Ⅰ的产量不大于Ⅱ的产量。第二目标：11dP)(222ddP例三：第三目标：33dP规划模型：