两角和与差的正弦、余弦、正切公式优秀课件

新课标人教版课件系列《数学》必修43.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切》审校：王伟高考资源网教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点1.教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2.教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.在研究三角函数时，我们还常常遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α+β、α–β或2α的三角函数值？下面我们先引出平面内两点间的距离公式，并从两角和的余弦公式谈起.在坐标平面内的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),xyO..P1(x1,y1)P2(x2,y2)M1(x1,0)M2(x2,0)N1(0,y1)N2(0,y2)QP1Q=M1M2=┃x1–x2┃，QP2=N1N2=┃y1–y2┃，由勾股定理，可得P1P22=P1Q2+QP22=(x1–x2)2+(y1–y2)2,=┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2由此得到平面内P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间距离公式：P1P2=.)()(221221yyxx∟∟∟∟∟接下来，我们继续考虑如何运用两点间的距离公式，把两角和的余弦cos(α+β)用α、β的三角函数来表示的问题.xyO如图，在直角坐标平面xOy内作单位圆O,并作出角α、β和–β，αP1P2P3P4β–βα+βP1(1,0),各点坐标：P2(cosα,sinα),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(–β),sin(–β)),xyOαP1P2P3P4β–βα+βP1(1,0),各点坐标：P2(cosα,sinα),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(–β),sin(–β)),由P1P3＝P2P4及两点间距离公式，得[cos(α+β)–1]2+sin2(α+β)=[cos(–β)–cosα]2+[sin(–β)–sinα]2,[cos(α+β)–1]2+sin2(α+β)=[cos(–β)–cosα]2+[sin(–β)–sinα]2,cos2(α+β)–2cos(α+β)+1+sin2(α+β)=cos2β–2cosαcosβ+cos2α+sin2α+2sinαsinβ+sin2β，2–2cos(α+β)=2–2cosαcosβ+2sinαsinβ，∴cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ，（C（α+β））cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ（C（α+β））这个公式对于任意角α、β都成立.例如cos(62°＝cos62°–cos59°+59°)sin62°sin59°;cos(113°＝cos113°–cos27°+27°)sin113°sin27°;cos[α＝cosα–cos(–β)+(–β)]sinαsin(–β)，cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ.（C（α+β））cos[α＝cosα–cos(–β)+(–β)]sinαsin(–β)，cosβcos(α＝cosα+–β)sinαsinβ.（C（α–β））例如cos(113°＝cos113°+cos27°–27°)sin113°sin27°;cos(113°＝cos113°+cos27°+27°)sin113°sin27°;cosβcos(α＝cosα+–β)sinαsinβ.（C（α–β））+cosα–α)sinαcos(π2＝cosπ2sinπ2=sinα，即–α)cos(π2=sinα，π2这里，等号两边的角的和为，αcosπ2=sin(–α)，∴即–α)cos(π2=sinα，π2这里，等号两边的角的和为，αcosπ2=sin(–α)，∴这就是说，诱导公式–α)cos(π2=sinα，cosα,π2sin(–α)＝当α为任意角时仍然成立.–α)cos(π2=sinα，cosα,π2sin(–α)＝cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ.运用上述公式，得sin(α+β)=cos[–(α+β)]π2=cos[(–α)–β]π2=cos(–α)cosβπ2+sin(–α)sinβπ2=sinαcosβ+cosαsinβ,即sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,（S（α+β））在上式中用–β代替β，得sin(α–β)=sinαcosβ–cosαsinβ,（S（α–β））当cos(α+β)≠0时，有tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ–sinαsinβ,若cosαcosβ≠0，得tan(α+β)=tanα+tanβ1–tanαtanβ.（T（α+β））tan(α+β)=tanα+tanβ1–tanαtanβ.∵tan(–β)==–tanβ，sin(–β)cos(–β)–sinβcosβtan(α–β)=tanα–tanβ1+tanαtanβ.∴（T（α–β））公式S（α+β）、C（α+β）、T（α+β）给出了任意角α、β的三角函数值(这里指正弦、余弦或正切)与其和角α+β的三角函数值之间的关系.为方便起见，我们把这三个公式都叫作和角公式.（T（α+β））tan(α+β)=tanα+tanβ1–tanαtanβ.∵tan(–β)==–tanβ，sin(–β)cos(–β)tan(α–β)=tanα–tanβ1+tanαtanβ.∴（T（α–β））类似地，公式S（α–β）、C（α–β）、T（α–β）都叫作差角公式.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,（S（α+β））sin(α–β)=sinαcosβ–cosαsinβ,（S（α–β））cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ，（C（α+β））cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ，（C（α–β））等号右边“±”的记忆方式：在锐角范围内，正弦函数是增函数，余弦函数是减函数，∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,（S（α+β））cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ，（C（α+β））记忆方式：αPQβMNEFαsin(α+β)=QM=ONsinα+QNcosα1xyO=sinαcosβ+cosαsinβ;cos(α+β)=OM=ONcosα–QNsinα=cosαcosβ–sinαsinβ.=NE+QF=OE–FN∟∟∟例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、余弦和正切的值.解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°23222122;426cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°–sin45°sin30°23222122;426例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、余弦和正切的值.tan75°=2626;32或tan75°=tan(45°+30°)30tan45tan130tan45tan3311331sin75°cos75°3333;32例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、余弦和正切的值.sin15°=cos75°;426或sin15°=sin(45°–30°)=sin45°cos30°–cos45°sin30°23222122;426例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、余弦和正切的值.;426cos15°=sin75°或cos75°=cos(45°–30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°23222122;426例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、余弦和正切的值.tan15°=2626;32或tan15°=tan(45°–30°)30tan45tan130tan45tan3311331sin15°cos15°3333;32例2、已知sinα=，α∈(,π)，34π2cosβ=–,β∈(π，),3π2求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).解：23∵sinα=，α∈(,π)，π223∴cosα=α2sin12)32(1;35∵34cosβ=–,β∈(π，),3π2∴sinβ=β2sin12)43(1;47例2、已知sinα=，α∈(,π)，34π2cosβ=–,β∈(π，),3π2求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).23∴sin(α–β)=sinαcosβ+cosαsinβ)43(32)47)(35(;12356例2、已知sinα=，α∈(,π)，34π2cosβ=–,β∈(π，),3π2求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).23cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ)43)(35()47(32;127253例2、已知sinα=，α∈(,π)，34π2cosβ=–,β∈(π，),3π2求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).23sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ)43(32)47)(35(,12356∴tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)7253356.17727532例3、利用和角公式求的值..315tan115tan1解：15tan115tan115tan45tan115tan45tan=tan(45°+15°)=tan60°例3′、△ABC中，求证tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.证明：,tantan1tantanBABA∴tanA+tanB=∵tanA、tanB、tanC都有意义，∴△ABC中没有直角，∵tan(A+B)==tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C)=–tanC+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.tan(A+B)–tanAtanBtan(A+B)∴tanAtanB≠1.本课小结：在这节课中，我们研究了两个角的和与差的正弦、余弦和正切公式，这些公式在今后有大量的应用，应熟练地、灵活地掌握。(例3就是反过来用公式的例子).再见、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。21、理想是反映美的心灵的眼睛。22、人生最高之理想，在求达于真理。便有了文明。24、生当做人杰，死亦为鬼雄。25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。27、生活中没有理想的人，是可怜的。28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。37、理想的书籍是智慧的钥匙。人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。——鲁迅2人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。——席慕蓉3做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。——萧楚女4所谓天才，只不过是