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用导数的基本运算法则巧构造导函数的原函数构造函数是解决抽象不等式的基本方法,根据题设的条件,并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则,相应地构造出辅助函数.通过进一步研究辅助函数的有关性质,给予巧妙的解答.本文从一到高考试题出发,追根溯源,研究并揭示高考试题的本质.1高考真题真题设函数()fx是奇函数()()fxxR的导函数,(1)0f,当0x时,()()0xfxfx,则使得()0fx成立的x取值范围().A.(,1)(0,1)B.(1,0)(1,)C.(,1)(1,0)D.(0,1)(1,)解析:设()()fxFxx,则2()()'()xfxfxFxx.因为0x时,()()0xfxfx,所以'()0Fx,即当0x时,()Fx单调递减.又因为()fx为奇函数,且(1)0f,所以()()fxFxx为偶函数,且(1)(1)0FF,则当0x时,()Fx单调递增.当(,1)x时,()0Fx,()0fx.当(0,1)x时,()0Fx,()0fx.所以()0fx成立的x取值范围(,1)(0,1),即答案为A..上述题为2015年课标全国Ⅱ选择题第12题,创新有难度,丰富有内涵.此其题表面看上,不知道如何入手,解决问题.因为这是一道没有具体函数表达式的不等式试题,且不等式中含有()fx和()fx,更是难上加难.从试题的解析可以看出,巧妙地构造出了函数()Fx,通过分析()Fx的单调性和奇偶性,解答问题.解题突破口不易寻找,给人一种“旧时茅店社林边,路转溪桥忽见”的感觉.对题的解析过程进行回顾,本题是如何构造出()()fxFxx,从而给出极其巧妙的解答.为了寻求问题的本质,这里对以下例题进行分析.2巧构导函数的原函数例1已知函数()fx的图像关于y轴对称,且当(,0)x时,()()0fxxfx成立,若0.20.22(2)af,log3(log3)bf,33log9(log9)bf,则,,abc的大小关系()A.bacB.cabC.cbaD.abc解析:设()()Fxxfx,则'()()()Fxfxxfx.因为0x时,()()0fxxfx,所以'()0Fx,则当0x时,()Fx单调递减.又因为函数()fx的图像关于y轴对称,所以()fx为奇函数,当0x时,()Fx单调递减.又因为0.2122,0log31,3log92,则bac,即答案为A.例2已知函数()fx满足:()2()0fxfx,那么系列不等式成立的是()A.(0)(1)ffeB.(0)(2)ffeC.(1)(2)fefD.2(0)(4)fef解析:设12()2()xFxefx,则1112221'()2[()()][()2()]2xxxFxefxefxefxfx.因为()2()0fxfx,所以'()0Fx,则()Fx在定义域上单调递增,所以(1)(0)FF,则(0)(1)ffe,即答案为A.例3已知()fx为定义在(,)上的可导函数,且()()fxfx对于xR恒成立且e为自然对数的底,则()A.2012(1)(0),(2012)(0)feffefB.2012(1)(0),(2012)(0)feffefC.2012(1)(0),(2012)(0)feffefD.2012(1)(0),(2012)(0)feffef解析:设()()xfxFxe,则22()()[()()]'()xxxxxfxefxefxfxeFxee.由()()fxfx,得()()0fxfx,则'()0Fx,()Fx在定义域上单调递减,所以(1)(0)FF,(2012)(0)FF即答案为A.例4定义在(0,)2上的函数()fx,()fx是它的导函数,且恒有()()tanfxfxx成立,则()A.3()2()43ffB.(1)2()sin16ffC.2()()64ffD.3()()63ff解析:因为(0,)2x,所以sin0x,cos0.由()()tanfxfxx,得()cos()sin0fxxfxx设()()sinfxFxx,则2()sin()cos'()sinfxxfxxFxx,可得'()0Fx,则()Fx在定义域上单调递减,所以()()43FF,则3()2()43ff,即答案为A.3.导数的运算法则与构造的思路分析爱因斯坦赞叹:“数学美,本质上终究是简单性”.那又如何构造出函数,将问题简单化,这在数学上是一个值得深究的问题.仔细的观察和思考例1和例2的解法,它们有一个共同点:采用导数的积运算法则,即[()()]'()()'()()fxgxfxgxgxfx.例3和例4的解法,它们也有一个共同点:采用导数的商运算法则,即2()()()'()()[]'()()fxfxgxgxfxgxgx.由此可见,对于含有()fx和()fx的不等式,将不等式的右边化0,若左边是()()xfx和()()xfx相加得形式,其中()x和()x常见的变量或常量.此时用导数的积运算法则;若左边是()()xfx和()()xfx相减得形式,此时用导数的商运算法则.当然,这只是做题的起初思想,但是要做出试题,还远远不行,而问题的关键在构造函数.波利亚:“观察可能导致发现,观察将揭示某种规则、模式或定律.”根据我们所学习的知识,通过观察,认识数学的本质特点,灵活的运用所学知识和技巧进行求解,从而将抽象复杂的问题转化为具体简单的问题,使解法顺利的完成。以下给出例1至例4的方法技巧例1中,()()0fxxfx,根据导数的积运算法则得(箭头指向方向为函数的导函数,后面不做说明)1()fx+()xfx0可以看出()fx的导数为()fx,x的导数为1,从而构造出函数()()Fxxfx.例2中,()2()0fxfx,根据导数的积运算法则得1()fx+2()fx0可以看出()fx的导数为()fx,2的导数为1,显然不成立.则不等式两边定约去了一个不为0的变量.函数和本身的导函数有相同的变量,则猜想到函数xye.但这里还要考虑系数1和2,进一步猜想到复合函数12xye.给上述不等式两边同乘以12xe,则12()xefx+122()xefx0从而构造出函数12()2()xFxefx.例3中,()()0fxfx,根据导数的商运算法则得2()()0xxxefxefxe可以看出()fx的导数为()fx,xe的导数为xe,且分母为2xe,从而构造出函数()()xfxFxe.例4中,可得()cos()sin0fxxfxx且sin0x,根据导数的商运算法则得2()sin()cos0sinfxxfxxx可以看出()fx的导数为()fx,sinx的导数为cosx,且分母为2sinx,从而构造出()()sinfxFxx.对于以上4个例题的不等式可以总结为()()()()0xfxxfx和()()()()0xfxxfx.这里有所疑问,当不等式的右边不是0时,那上述的构造函数方法显然不适用.下面给出一道试题进行研究.4构造中变化例6()fx是定义在R上的函数,其导函数为()fx.若()()1fxfx,(0)2016f,则不等式()20151xfxe的解集.分析:数学变式题的给出,都离开最初的原题.借助例1至例6构造函数的方法,找出函数与本身导函数的关系.并根据[()]'()fxcfx,从而可以解答试题.因为()()1fxfx,所以[()1][()1]'0fxfx.这里把()1fx看做一个整体,再由例4知,设()1()xfxFxe,则22[()1]'[()1]{[()1]'[()1]}'()xxxxxfxefxefxfxeFxee,得'()0Fx,则()Fx在R上为单调递增.因为(0)(0)12015Ff,()20151xfxe,所以()12015xfxe()20151xfxe的解集(0,).5.常见构造类型:①利用()fx与x构造,()xfx,()fxx②利用()()(),(),nnfxFxxfxFxx③利用()fx和xe构造④利用()fx与函数sinx,cosx构造实践表明,对于含有()()xfx和()()xfx抽象函数的不等式,问题的本质在于巧妙地构造出原函数,这是解决问题的最有力的武器.在构造过程中,必须掌握导数的相关知识,多加练习并反思,积累做题方法和技巧,提高解题能力,开阔视野,不断探索,通过观察、分析、对比、总结等一系列思维活动,简化试题结构,掌握所学的基本知识和方法.
本文标题:用导数的基本运算法则巧构造导函数的原函数
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