偏导数课件

7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出7.3偏导数7.3.1偏导数的概念7.3.2高阶偏导数第7章多元函数微积分7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出•1．掌握偏导数的定义；•2．学会求多元函数的偏导数和高阶偏导数。本节的学习目的与要求7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出本节的重点与难点一、重点:二、难点:•1．判断二元函数偏导数的存在性；•2．计算多元函数的偏导数。•1．偏导数的定义；•2．二元函数偏导数的存在性；•3．计算二元、多元函数的偏导数。7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出7.3.1偏导数的概念引例定量理想气体的压强p、体积V和热力学温度T之间的变化关系为当压强p和温度T两个变量同时变化时，体积V变化情况较复杂，现分两种情况考虑：（1）等温过程：如果温度T不变，体积V就成为p的一元函数，从而它关于压强p的变化率为(2)等压过程：如果压强p不变，而温度T发生变化，则体积V就成为T的一元函数，从而它关于温度T的变化率为7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出•一般地，在二元函数y=f(x,y)中，如果只有自变量x的变化，而自变量y固定（看成常量），这时z就是x的一元函数，它对x的导数就叫做二元函数对x的偏导数；如果自变量y变化，而自变量x固定（看成常量），这时z就是y的一元函数，它对y的导数就叫做二元函数对y的偏导数.7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量=zx),(),(0000yxfyxxf，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数.1.偏导数的定义7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出同理可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为yyxfyyxfy),(),(lim00000记为00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy.00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.记作：7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出如果函数),(yxfz在区域D内任一点),(yx处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz对自变量x的偏导数，记作xz，xf，xz或),(yxfx.同理可以定义函数),(yxfz对自变量y的偏导数，记作yz，yf，yz或),(yxfy.7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出如在处),,(zyxfu),,(zyx,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxx,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz偏导数的概念可以推广到二元以上函数7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出例1求223yxyxz在点)2,1(处的偏导数．解xz;32yxyz.23yx21yxxz,8231221yxyz.722132.偏导数的计算7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出例2求)ln(22yxz的偏导数.解xz,2)][ln(2222yxxyxxyz.2)][ln(2222yxyyxy7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出例3求)sin(2xyxz的偏导数。解xz)()sin()][sin(22xxxyxyxx).cos(3xyx).sin(2)cos(2xyxxyyxyz)][sin(2xyyx7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出例4已知理想气体的状态方程RTpV（R为常数），求证：1pTTVVp.证VRTp;2VRTVppRTV;pRTVRpVT;RVpTpTTVVp2VRTpRRV.1pVRT7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出偏导数xu是一个整体记号，不能拆分;).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求设例如求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解xxfxx0|0|lim)0,0(00).0,0(yf有关偏导数的几点说明127.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出偏导数存在与连续的关系例如,函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，37.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出偏导数的几何意义,),()),(,,(00000上一点为曲面设yxfzyxfyxM如图47.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出偏导数),(00yxfx就是曲面被平面0yy所截得的曲线在点0M处的切线xTM0对x轴的斜率.偏导数),(00yxfy就是曲面被平面0xx所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴的斜率.几何意义:7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx函数),(yxfz的二阶偏导数为纯偏导混合偏导二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.7.3.2高阶偏导数7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出例5　设13323xyxyyxz，求22xz、xyz2、yxz2、22yz及33xz.解xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy22yz;1823xyx33xz,62yxyz2.19622yyxyxz2,19622yyx7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出原函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出例6设byeuaxcos，求二阶偏导数.解,cosbyaexuax;sinbybeyuax,cos222byeaxuax,cos222byebyuax,sin2byabeyxuax.sin2byabexyuax7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？思考题7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出定理如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．例6验证函数22ln),(yxyxu满足拉普拉斯方程.02222yuxu7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出解),ln(21ln2222yxyx,22yxxxu,22yxyyu,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu.)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu.07.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出内容小结1.偏导数的概念及有关结论•定义;记号;几何意义•函数在一点偏导数存在函数在此点连续•混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法•求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义•求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出若函数),(yxf在点),(000yxP连续，能否断定),(yxf在点),(000yxP的偏导数必定存在？思考题7.3偏导数本节预备知识本节目的要求本节重点难点本节复习指导目录后退主页退出不能.,),(22yxyxf在)0,0(处连续,但)0,0()0,0(yxff不存在.例如,思考题解答