复变函数与积分变换

复变函数与积分变换绪论一、引言复数的产生和复变函数理论的建立先从二次方程谈起解方程20,0axbxca21,242bbacxa此公式早于公元前400年，已被巴比伦人发现和使用。在中国的古籍《九章算术》中，亦有提及与二次方程有关的问题。由二次方程到三次方程由于实际应用上的需要，亦由于人类求知欲的驱使，很自然地，人类就开始寻找三次方程的解法。即寻找方程一般根式解。很可惜，经过了差不多二千年的时间，依然沒有很大的进展！320axbxcxd怪杰卡丹诺(GirolamoCardano;15011576)一个多才多艺的学者,•一个放荡不羁的无赖他精通数学、医学、语言学、天文学、占星学一生充满传奇，人们称他为「怪杰」。1545年，卡丹诺在他的著作《大术》（ArsMagna）中，介绍了解三次方程的方法。从此，解三次方程的方法，就被称为「卡丹诺公式」。解方程公式：232333223223nnmnnmx例解x3+6x=20注意：m=6、n=20x=331010810108=23xmxn1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想。后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的。这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转。2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上。用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的。3、19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家Riemann和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知识直到今天都是比较完善的。4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域。积分变换就是通过积分运算把一个函数变成另一个函数，同时，将函数的微积分运算转化为代数运算，把复杂、耗时的运算简单、快速完成。但变换不同于化简，它必须是可逆的，即必须有与之匹配的逆变换。复变函数与积分变换在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。再比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。从柯西算起，复变函数已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并使它的应用更加广泛。对象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。主要内容复变函数的积分、级数、留数、共形映射、傅里叶变换和拉普拉斯变换等。复数与复变函数、解析函数、学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变量函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，复变函数有本质上的深化，尤其是在方法和技巧上，更有着显著的不同。在学习中要善于比较、区别、特别要注意它们之间的联系、发展和变化，理解概念、掌握方法、熟悉技巧。对复数域上特有性质与结果要有足够理解。第一章复数与复变函数（Complexnumberandfunctionofthecomplexvariable）§1.1复数§1.2复数的三角表示§1.3平面点集的一般概念§1.4无穷大与复球面§1.5复变函数一、复数的概念§1.1复数(Complexnumber)二、复数的四则运算三、复平面一、复数的概念（1）对任意两实数x、y,称z=x+iy为复数。称为虚单位。或其中iii,1,12复数z的实部（realpart）Re(z)=x;虚部（imaginarypart）Im(z)=y.（2）当0y时，zx（实数）；当0x时，ziy（纯虚数）；当00,xy时，0z（实数）；.,212121yyxxzz则（3）设复数,111iyxz.222iyxz(4)设,称为z的共轭复数.iyxziyxz注意：任意两个虚数不能比较大小！！例如，设,则,即,矛盾。0iiii0010)Im()Re(0zzz设z1=x1+iy1与z2=x2+iy2，则（1）z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)（2）z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)112121221122222222230()()||||zzzxxyyxyxyzizzzzzz二、复数的四则运算.,,23,5212121虚部的实部求设例zziziz,13111316131116235221iiiizz解.1311Im,1316Re2121zzzz所以20例2的形式将下列复数表示为iyx.11)2(;11)1(7iiiiii解ii11)1()1)(1()1(2iii2)1(2i,i77)(11iii.iiiii11)2(iiii)1()1(22ii1212)1)(21(ii.2123i复数的运算满足如下交换律、结合律、分配律。全体复数并引进上述运算后称为复数域，用C表示。122112211231231231231231213(1);(2)()()()();(3)();zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz在复数域中，我们熟知一切代数恒等式，如223322()(),()()abababababaabb仍成立共轭复数的运算性质;)(21211zzzz;)(2121zzzz2121)(zzzzzz)(2)Im(2)Re(2)4(zizzzzz22223zzyxzzImRe23例1.1证,,222111iyxziyxz设两复数).Re(2212121zzzzzz证明2121zzzz))(()()(22112211iyxiyxiyxiyx)()(21122121yxyxiyyxx)()(21122121yxyxiyyxx)(22121yyxx).Re(221zz).Re(22121212121zzzzzzzzzz或三、复平面则在复数集与平面之间建立了一个1-1对应。x轴上的点表示实数，x轴称为实轴，y轴上的点表示纯虚数，y轴称为虚轴；整个坐标平面称为复平面或z平面。),(:2yxiyxzRC作映射Z平面§1.2复数的三角表示(Therepresentationofcomplexnumber)一、复数的模和辐角二、复数的三角不等式三、复数的表示方法四、用复数的三角表示作乘除法五、复数的乘方与开方一、复数的模和辐角oxyz平面P(x,y)rzxy.},{)(iyxzOPyxOPyxPiyxz表示因此可用向量，，点如图复数向量的长度称为复数的模，记作：.||22yxz向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角(Argument)，记作：由于任意非零复数有无限多个辐角，用表示符合条件的一个角，称为复数主辐角。于是.ArgzargzzArg,2,1,02argArgkkzz注意：时，辐角不确定。0zz之间的关系与下面给出xyzarctanarg2arctan2xy其中;0,0,arctan;0,0,2;0,0,arctan;0,0,arctan;0,0,2;0,0,arctanarg0yxxyyxyxxyyxxyyxyxxyzz当当当当当当k222arctan),2,1,0(24kkkii2)43arg()43Arg(k234arctan),2,1,0(34arctan)12(kk例3求22Arg()i34Arg()i及kii2)22arg()22Arg(解二、复数模的三角不等式关于两个复数21,zz的和与差的模，有下列不等式：||||||)1(2121zzzz||||||||)2(2121zzzz||||||)3(2121zzzz||||||||)4(2121zzzz|||Im||,||Re|)5(zzzzzzz2||)6(2121221zzzzzz证明：例3证明)Re(2212221221zzzzzz)Re(21222111212221122122212zzzzzzzzzzzzzzzz1.点的表示法2.向量表示法3.三角表示法4.指数表示法三、复数的表示方法1.点的表示法,,yxiyxz一对有序实数复数。平面上的点因此复数，一对有序实数任意点在平面直角坐标系中，yxPiyxzyxyxP,,,的点不加区分。今后将复数与复平面上复平面上的点这样，复数.y,xPiyxz.},{)(iyxzOPyxOPyxPiyxz表示复数因此可用向量，，点复数2.向量表示法oxyz平面P(x,y)rzxy00OPz3.三角表示法)sin(cosirz设复数的模为，是复数的任意一个辐角,则z,0zzroxyz平面P(x,y)rzxy此式称为复数的三角表示式。注：一个复数的三角表示不是唯一的。zz，所以解：因为4121iargi4421sincosii也可以表示为494921sincosii1cossinzriz例5，求的三角表示式解：因为.14的三角表示式写出复数例isincos,,irzrzzzz21.sincossincosirirz111所以4.指数表示法由欧拉公式sincosiei可得:复数)sin(cosirz的指数表示.irez例6将复数10cossini化为指数形式解222122222222222222222cossinsinsincossinsincossincossinsiniiiiie四、用复数的三角表示作乘除法),sin(cos||1111izz)sin(cos||2222izz)]sin()[cos(||||21212121izzzz则有||||||2121zzzz于是得到：取任意整数kzzkzz212121ArgArg2)(Arg后一个式子应理解为集合相等。设是两个非零复数，,1z2z注意：可推广到n个复数的乘积。1oxy(z)1z2z1z22z2几何意义：将复数按逆时针方向旋转一个角度，再将其伸缩倍。21z2z同理，对除法有)]sin()[cos(