几何原本

《几何原本》第i卷基本定义1.点是没有部分的。2.线只有长度而没有宽度。3.一线的两端是点。4.直线是它上面的点一样的平放着的线。5.面只有长度和宽度。6.面的边缘是线。7.平面是它上面的线一样的平放着的面。8.平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度。9.而且当包含角的两条线是直线时，这个角叫做直线角。10.当一条直线和另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且交一条直线垂直于另一条直线。11.大于直角的角叫钝角。12.小于直角的角叫锐角。13.边界是物体的边缘。14.图形是被一个边界或几个边界所围成的。15.圆是由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上的点遥接成的所有线段都相等。16.而且把这个点叫做圆心。17.圆的直径是过圆心而在两个方向被圆周截得的任意线段，且把圆二等分。18.半圆是直径和由它截得的圆弧所围成的图形。而且半圆的心和圆心相同。19.直线形是由线段围成的，三边形是由三条线段围成的，四边形是由四条线围成的，多边形是由四条以上线段围成的。20.在三边形中，三条边相等的，叫做等边三角形；两条边相等的，叫做等腰三角形；各边不相等的，叫做不等边三角形。21.此外，在三边形中，有一角是直角的，叫做直角三角形；有一个角是钝角的，叫做钝角三角形；有三个角是锐角的，叫做锐角三角形。22.在四边形中，四边相等且四个角是直角的，叫做正方形；角是直角，但四边不全相等的，叫做长方形；四边相等，但角不是直角的，叫做菱形；对角相等且对边也相等，但边不全相等且角不是直角的，叫做斜方形；其它的四边形叫做不规则四边形。23.平行直线是在同平面内的直线，向两个方向无限延长，在不论哪个方向它们都不相交。公詏1.由任意一点到任意一点可作直线。2.一条有限直线可以继续延长。3.以任意点为心及任意的距离可以画圆。4.凡直角都相等。5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角，则这二直线经无限延后在这侧相交。公理1.等于同量的量彼此相等。2.等量加等量，其和仍相等。3.等量减等量，其差仍相等。4.彼此能重合的物体是全等的。5.整体大于部分。命题1.在一个已知有限直线上作一个等边三角形。2.由一个已知点（作为端点）作一线段等于已知线段。3.已知两条不相等的线段，试由大的上边截取一条线段使它等于另外一条。4.如果两个三角形有两边分别等于两边，而且这些相等的线段所夹的角相等。那么，它们的底边等于底边，三角形全等于三角形，而且其它的角等于其它的角，即那等边所对的角。5.在等腰三角形中，两底角彼此相等而且若向下延长两腰。则在底以下的两角也彼此相等。6.如果在一个三角形中，有两角彼此相等。则等角所对的边也彼此相等。7.在已知线段上（从它的两个端点）作出相交于一点的二线段，则不可能在该线段（从它的两个端点）的同侧作出相交于另一点的另二条线段，使得作出的二线段分别等于前面二线段。即每个交点到相同端点的线段相等。8.如果两个三角形的一个有两边分别等于另一个的两边，而且个的底等于另一个的底。则夹在等边中间的角也相等。9.二等分一个己知直线角。10.二等分已知有限直线。11.由已知直线上一已知点作一直线和已知直线成直角。12.由已知无限直线外一已知点作该直线的垂线。13.一条直线和另一条直线所交成的邻角，或者是两个直角或者它们等于两个直角的和。14.如果过任意直线上点有两条直线不在这一直线的同侧，且和直线所成邻角和等于二直角。则这两条直线在同一直线上。15.如果两直线相交，则它们交成的对顶角相等。16.在任意的三角形中，若延长一边，则外角大于任何一个内对角。17.在任何三角形中，任何两角之和小于两直角。18.在任何三角形中，大边对大角。19.在任何三角形中，大角对大边。20.在任何三角形中，任意两边之和大于第三边。21.如果由三角形的一条边的两个端点作相交于三角形内的两条线段，由交点到两端点的线段的和小于三角形其它两边的和。但是，其夹角大于三角形的顶角。22.试由分别等于已知三条线段的三条线段作一个三角形：在这样的三条已知线段中，任二条线段之和必须大于另外一条线段。23.在已知直线和它上面一点，作一个直线角等于己知直线角。24.如果两个三角形中，一个的两条边分别与另一个的两条边相等，且一个的夹角大于另一个的夹角，则夹角大的所对的边也较大。25.如果在两个三角形中，一个的两条边分别等于另一个的两条边则第三边较大的所对的角也较大。26.如果在两个三角形中，一个的两个角分别等于另一个的两个角，而且一边等于另一个的一边。即或者这边是等角的夹边，或者是等角的对边。则它们的其他的边也等于其他的边，且其他的角也等于其他的角。27.如果一直线和两直线相交所成的错角彼此相等。则这二直线互相平行。28.如果一直线和二直线相交所成的同位角相等，或者同旁内角的和等于二直角。则二直线互相平行。29.一条直线与两条平行直线相交。则所成的内错角相等，同位角相等，且同旁内角的和等于二直角。30.一些直线平行于同一条直线，则它们也互相平行。31.过一已知点作一直线平行于已知直线。32.在任意三角形中，如果延长一边。则外角等于二内对角的和，而且三角形的三个内角的和等于二直角。33.在同一方向（分别）遥接相等且平行的线段（的端点），它们自身也相等且平行。34.在平行四边形面片中，对边相等，对角相等且对角线二等分其面片。35.在同底上且在相同两平行线之间的平行四边形彼此相等。36.在等底上且在相同二平行线之间的平行四边形彼此相等。37.在同底上且在相同二平行线之间的三角形彼此相等。38.在等底上且在相同二平行线之间的三角形彼此相等。39.在同底上且在底的同一侧的相等三角形必在相同二平行线之间。40.等底且在底的同侧的相等三角形也在相同二平行线之间。41.如果一个平行四边形和一个三角形既同底又在二平行线之间。则平行四边形是这个三角形的二倍。42.用已知直线角作平行四边形，使它等于已知三角形。43.在任何平行四边形中，对角线两边的平行四边形的补形彼此相等。44.用已知线段及已知直线角作一个平行四边形，使它等于已知三角形。45.用一个已知直线角作一平行四边形使它等于已知直线形。46.在已知线段上作一个正方形。47.在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和。48.如果在一个三角形中，一边上的正方形等于这个三角形另外两边上正方形的和。则夹在后两边之间的角是直角。《几何原本》第ii卷定义1.任何矩形都将说成是两边夹直角的平行四边形。2.在作何平行四边形面片中，以此形的对角线为对角线的一个小平行四边形和两个相应的补形一起叫做柺尺形。命题1.如果有两条线段，其中一条被截成任意几段。则原来两条线段构成的矩形等于各个小段和未截的那条线段构成的矩形之和。2.如果任意两分一个线段，则这个线段与分成的两个线段分别构成的两个矩形之和等于在原线段上作成的正方形。3.如果任意两分一条线段。则由整个线段与小线段之一构成的矩形等于这个小线段与另一小线段构成的矩形与前面小线段上的正方形的和。4.如果任意两分一个线段。则在整个线段上的正方形等于各个小线段上的正方形的和加上由两小线段构成的矩形的二倍。5.如果把一条线段既分成相等的线段，再分成不相等的线段。则由二不相等的线段构成的矩形与两个分点之间一段上的正方形的和等于原来线段一半上的正方形。6.如果平分一线段而且在同一线段上给它加上一线段。则合成的线段与加上的线段构成的矩形及原线段一半上的正方形的和等于原线段一半与加上的线段的和上的正方形。7.如果任意分一线段为两段，则原线段上的正方形与所分成的小段之一上的正方形的和等于原线段与该小线段构成的矩形的二倍与另一小线段上正方形的和。8.如果任意两分一个线段，用原线段和一个小线段构成的矩形的四倍与另一小线段上的正方形的和等于原线段与前一小线段的和上的正方形。9.如果一条线段既被分成相等的两段，又被分成不相等的两段。则在不相等的各线段上正方形的和等于原线段一半上的正方形与二个分点之间一段上正方形的和的二倍。10.如果二等分一条线段，且在同一直线上再给原线段添加上一条线段，则合成线段上的正方形与添加线段上的正方形的和等于原线段一半上的正方形与一半加上添加线段之和上的正方形的和的二倍。11.分已知线段，使它和一条小线段所构成的矩形等于另一小段上的正方形。12.在钝角三角形中，钝角所对的边上的正方形比夹钝角的二边上的正方形的和大一个矩形的二倍。即由一锐角向对边的延长线作垂线，垂足到钝角之间一段与另一边所构成的矩形。13.在锐角三角形中，锐角对边上的正方形比夹锐角二边上正方形的和小一个矩形的二倍。即由另一锐角向对边作垂直线，垂足到原锐角之间一段与该边所构成的矩形。14.作一个正方形等于已知直线形。《几何原本》第iii卷定义1.等圆就是直径或半径相等的圆。2.一条直线叫做切于一圆，就是它和圆相遇，而延长后不与圆相交。3.两圆叫做彼此相切，就是彼此相遇，而不彼此相交。4.当着圆心到圆内弦的垂线相等时，交这些弦有相等的弦心距。5.而且当垂线较长时，交这弦有较大的弦心距。6.弓形是由一条弦和一段弧所围成的图形。7.弓形的角是由一直线和一段圆弧所夹的角。8.在弓形弧上取一点，遥接这点和这段弓形的底的端点的二直线所夹的角叫做弓形角。9.而且当夹角的两直线截出一段圆弧时，这角叫做张于弧上的角。10.由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形叫做扇形。11.相似弓形是那些含相等角的弓形，或者张在它们上的角是彼此相等的。命题1.求出已知圆的圆心。2.如果在一个圆的圆周上任意取二点。则遥接这两点的线段落在圆内。3.如果在一个圆中，一条经过圆心的直线二等分一条不经过圆心的弦。则它们交成直角；而且如果它们交成直角。则这直线二等分这一条弦。4.如果在一个圆中，有两条不经过圆心的弦彼此相交。则它们不互相平分。5.如果两个圆彼此相交，则它们不同心。6.如果两个圆彼此相切，则它们不同心。7.如果在一个圆的直径上取一个不是圆心的点，且由这点到圆上所引的线段中，圆心所在的一段最长，同一直径上它下的一段最短；而且在其它的线段中，靠近过圆心的线段较远离的为长；这点到圆上每相等的线段只有两条，它们各在最短线段的一边。8.如果在圆外取一点且从这点画通过圆的直线，其中之一过圆心而且其他的可任意画。那么，在凹圆弧上的遥线中，以经过圆心的最长；这时靠近通过圆心的遥线大于远离的遥线。但是，在凸圆弧上的遥线中，在取定的点和直径之间的一条最短；这时靠近通过圆心遥线的短于远离的遥线。而且由这点到圆周上的遥线，每相等的遥线中只有两条，它们各在最短遥线的一侧。9.如果在圆内取定一点，由这点到圆上所引相等的线段多于两条。则这点是该圆的圆心。10.一个圆截另一个圆，其交点不多于两个。11.如果两个圆互相内切，又给定它们的圆心，用线段遥接它们的圆心，如果延长这条线段，则它必过两圆的切点。12.如果两个圆相互外切，则它们的圆心的遥线通过切点。13.一个圆和另外一个圆无论是内切还是外切，其切点不多于一个。14.在一个圆中等弦的弦心距也相等；反之弦心距相等，则弦也相等。15.在一个圆中的弦以直径最长，而且越靠近圆心的弦总是大于远离圆心的弦。16.由一个圆的直径的端点作直线与直径成直角。则该线落在圆外，在这个平面上在这直线与圆周之间不能再插入另外的直线；而且半圆角大于任何锐直线角，而它下的角小于任何锐直线角。17.由已知点作直线切于已知圆。18.如困一条直线切于一个圆。则圆心到切点的遥线垂直于切线。19.如果一直线切于一圆，而且从切点作一条与切线成直角的直线。则圆心就在这条直线上。20.在一个圆内，同弧上的圆心角等于圆周角的二倍。21.在一个圆中，同一弓形上的角是彼此相等的。22.内接于圆的四边形其对角的和等于两直角。23.在同一个线段上且在同一侧不能作出两个相似且不相等的弓形。24.在相等线段上的相似弓形是相等的。25.已知一个弓形，求作它的补圆，它也是一个弓形。26.在等圆中相等的圆心角或者相等的圆周角所对的弧也是彼此相