2020高考数学(文科)全国二卷高考模拟试卷(1)

第1页（共17页）2020高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷1一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，4，6}，B＝{1，4，7，8}，则A∩（∁UB）＝（）A．{4}B．{2，3，6}C．{2，3，7}D．{2，3，4，7}2．（5分）若复数z满足z（i﹣1）＝2i（i为虚数单位），则𝑧为（）A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i3．（5分）已知数列{an}的前n项和公式是𝑆𝑛=2𝑛2+3𝑛，则（）A．是公差为2的等差数列B．是公差为3的等差数列C．是公差为4的等差数列D．不是等差数列4．（5分）已知m为实数，直线l1：mx+y﹣1＝0，l2：（3m﹣2）x+my﹣2＝0，则“m＝1”是“l1∥l2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，若AB＝AC＝BC＝DB＝DC＝1，当三棱锥D﹣ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为（）A．5𝜋3B．2πC．5πD．20𝜋36．（5分）从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是（）A．15B．25C．35D．457．（5分）设曲线在某点的切线斜率为负数，则此切线的倾斜角（）A．小于90°B．大于90°C．不超过90°D．大于等于90°8．（5分）已知函数f（x）为定义在（一∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝（x﹣2e）lnx．若函数g（x）＝f（x）﹣m存在四个不同的零点，则m的取值范围为（）A．（﹣e，e）B．[﹣e，e]C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]9．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且第2页（共17页）相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏10．（5分）已知空间四边形ABCD，∠BAC=23π，AB＝AC＝2√3，BD＝4，CD＝2√5，且平面ABC⊥平面BCD，则该几何体的外接球的表面积为（）A．24πB．48πC．64πD．96π11．（5分）已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的虚轴为（）A．1B．2C．√3D．2√312．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x＞0时，xf'（x）＞f（x）．若a=𝑓(−𝑙𝑜𝑔23)−𝑙𝑜𝑔23，b=𝑓(𝑙𝑜𝑔46)𝑙𝑜𝑔46，c=𝑓(𝑠𝑖𝑛𝜋8)𝑠𝑖𝑛𝜋8，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知𝐴𝐵→=(2，𝑘)，𝐶𝐵→=(1，3)，𝐶𝐷→=（2，﹣1），若A，B，D三点共线，则k＝．14．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，−12，13，12，1，2，3}，任取k∈A，则幂函数f（x）＝xk为偶函数的概率为（结果用数值表示）．15．（5分）函数的图象是函数f（x）＝sin2x−√3cos2x的图象向右平移𝜋3个单位得到的，则函数的图象的对称轴可以为．16．（5分）已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎＞𝑏＞0)的右焦点为F，以F为圆心的圆：x2+y2﹣4x﹣32＝0恰好与椭圆的右准线相切，则该椭圆的离心率为．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定，考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式，随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来，为了研究某种理财工具的使用情况，现对[20，70]年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组，[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]，并整理得到频率分布直方图：第3页（共17页）（Ⅰ）求图中的a值；（Ⅱ）求被调查人员的年龄的中位数和平均数；（Ⅲ）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，在抽取的8人中随机抽取2人，则这2人都来自于第三组的概率是多少？18．（12分）锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(𝑎2+𝑏2−𝑐2)𝑡𝑎𝑛𝐶=√3𝑎𝑏．（1）求C；（2）若3sinA＝4sinB，且△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长．19．（12分）如图，已知抛物线y2＝4x，过焦点F且斜率不为零的直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2））两点，且与其准线交于点D．（1）若|AB|＝8，求直线l的方程；（2）若点M在抛物线上且|MF|＝2．求证：对任意的直线l，直线MA，MD，MB的斜率依次成等差数列．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AD＝4，G为PD的中点，点E在AB上，平面PDC⊥平面PEC．（1）求证：AG⊥平面PCD；（2）求三棱锥A﹣PEC的体积．第4页（共17页）21．（12分）函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−1𝑒𝑥，ℎ(𝑥)=𝑥𝑥+1（1）判断x＞0时，f（x）﹣h（x）的零点个数，并加以说明；（2）正项数列{an}满足𝑎1=1，𝑎𝑛𝑒−𝑎𝑛+1=𝑓(𝑎𝑛)①判断数列{an}的单调性并加以证明．②证明：∑𝑛+1𝑖=1𝑎𝑖＜2−(12)𝑛．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρ＝4cosθ，直线l的参数方程为：{𝑥=3+2𝑡𝑦=−1+𝑡（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若点P（3，﹣1），求1|𝑃𝑀|−1|𝑃𝑁|的值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f（x）＝|x+1|+|ax﹣1|．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，证明：a+b≥0．第5页（共17页）2020高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷1参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，4，6}，B＝{1，4，7，8}，则A∩（∁UB）＝（）A．{4}B．{2，3，6}C．{2，3，7}D．{2，3，4，7}【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{2，3，4，6}，B＝{1，4，7，8}，∴∁UB＝{2，3，5，6}，A∩（∁UB）＝{2，3，6}．故选：B．2．（5分）若复数z满足z（i﹣1）＝2i（i为虚数单位），则𝑧为（）A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i【解答】解：Z（i﹣1）＝2i（i为虚数单位），∴﹣Z（1﹣i）（1+i）＝2i（1+i），∴﹣2z＝2（i﹣1），解得z＝1﹣i．则𝑧=1+i．故选：A．3．（5分）已知数列{an}的前n项和公式是𝑆𝑛=2𝑛2+3𝑛，则（）A．是公差为2的等差数列B．是公差为3的等差数列C．是公差为4的等差数列D．不是等差数列【解答】解：n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n2+3n﹣2（n﹣1）2﹣3（n﹣1）＝4n+1，n＝1时，a1＝S1＝2×12+3×1＝5，符合上式，∴an＝4n+1．故选：C．4．（5分）已知m为实数，直线l1：mx+y﹣1＝0，l2：（3m﹣2）x+my﹣2＝0，则“m＝1”是“l1∥l2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当m＝1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1＝0，l2：x+y﹣2＝0满足l1第6页（共17页）∥l2，即充分性成立，当m＝0时，两直线方程分别为y﹣1＝0，和﹣2x﹣2＝0，不满足条件．当m≠0时，则l1∥l2⇒3𝑚−2𝑚=𝑚1≠−2−1，由3𝑚−2𝑚=𝑚1得m2﹣3m+2＝0得m＝1或m＝2，由𝑚1≠−2−1得m≠2，则m＝1，即“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件，故选：A．5．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，若AB＝AC＝BC＝DB＝DC＝1，当三棱锥D﹣ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为（）A．5𝜋3B．2πC．5πD．20𝜋3【解答】解：如图，当三棱锥D﹣ABC的体积取到最大值时，则平面ABC⊥平面DBC，取BC的中点G，连接AG，DG，则AG⊥BC，DG⊥BC分别取△ABC与△DBC的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体ABCD的球心，由AB＝AC＝BC＝DB＝DC＝1，得正方形OEGF的边长为√36，则OG=√66∴四面体A﹣BCD的外接球的半径R=√𝑂𝐺2+𝐵𝐺2=√(√66)2+(12)2=√512∴球O的表面积为=4𝜋×(√512)2=5𝜋3，故选：A．6．（5分）从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，则选中的2人是1名男同第7页（共17页）学1名女同学的概率是（）A．15B．25C．35D．45【解答】解：从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，基本事件总数n=𝐶52=10，选中的2人是1名男同学1名女同学包含的基本事件个数m=𝐶21𝐶31=6，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是p=𝑚𝑛=610=35．故选：C．7．（5分）设曲线在某点的切线斜率为负数，则此切线的倾斜角（）A．小于90°B．大于90°C．不超过90°D．大于等于90°【解答】解：设此切线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），θ≠90°．∵曲线在某点的切线斜率为负数，∴tanα＜0，∴α∈（90°，180°），故选：B．8．（5分）已知函数f（x）为定义在（一∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝（x﹣2e）lnx．若函数g（x）＝f（x）﹣m存在四个不同的零点，则m的取值范围为（）A．（﹣e，e）B．[﹣e，e]C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]【解答】解：A当x＞0时，𝑓′(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+1−2𝑒𝑥．𝑓′(𝑥)=1𝑥+2𝑒𝑥2＞0，故f'（x）在（0，+∞）上单调递增，因为f'（e）＝0．故ff（x）在（0，e）上单调递战，在（e，+∞）上单调递增．如图为f（x）大致图象．由g（x）＝f（x）﹣m存在四个不同的零点知y＝m与y＝f（x）的图象有四个不同交点，故m∈（﹣e，e），故选：A．第8页（共17页）9．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【解答】解：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，∴S7=𝑎1(1−27)1−2=381，解得a1＝3．故选：B．10．（5分）已知空间四边形ABCD，∠BAC=23π，AB＝AC＝2√3，BD＝4，CD＝2√5，且平面ABC⊥平面BCD，则该几何体的外接球的表面积为（）A．24πB．48πC．64πD．96π【解答】解：在三角形ABC中，∠BAC=23π，AB＝AC＝2√3，由余弦定理可得BC=√𝐴𝐵2+𝐴𝐶2−2𝐴𝐵⋅𝐴𝐶⋅𝑐𝑜𝑠23𝜋=6，而在三角形BCD中，BD＝4，CD＝2√5，∴BD2+CD2＝BC2，即△BCD为直角三角形，且BC为斜边，因为平