概率论与数理统计第4章作业题解

第四章作业题解4.1甲、乙两台机床生产同一种零件,在一天内生产的次品数分别记为X和Y.已知,XY的概率分布如下表所示:X0123P0.40.30.20.1Y0123P0.30.50.20如果两台机床的产量相同,问哪台机床生产的零件的质量较好？解：11.032.023.014.00)(XE9.0032.025.013.00)(YE因为)()(YEXE，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。4.2袋中有5个球,编号为1,2,3,4,5,现从中任意抽取3个球,用X表示取出的3个球中的最大编号，求E(X).解：X的可能取值为3,4,5.因为1.01011)3(35CXP；3.0103)4(3523CCXP；6.0106)5(3524CCXP所以5.46.053.041.03)(XE4.3设随机变量X的概率分布1{}(0,1,2,),(1)kkaPXkka其中0a是个常数，求()EX解:112111()(1)(1)(1)kkkkkkaaaEXkkaaa，下面求幂级数11kkkx的和函数，易知幂级数的收敛半径为1R，于是有12111()(),1,1(1)kkkkxkxxxxx根据已知条件，0a，因此011aa，所以有221()(1)(1)1aEXaaaa.4.4某人每次射击命中目标的概率为p,现连续向目标射击,直到第一次命中目标为止,求射击次数的期望.解：因为X的可能取值为1,2,……。依题意，知X的分布律为1(),1,1,2,kPXkqpqpk所以)1()()()(1111qqpqpqppkqXEkkkkkkpppqp11)1(1224.5在射击比赛中,每人射击4次,每次一发子弹.规定4弹全未中得0分,只中1弹得15分,中2弹得30分,中3弹得55分,中4弹得100分.某人每次射击的命中率为0.6,此人期望能得到多少分？解：设4次射击中命中目标的子弹数为X，得分为Y，则X~B(4,0.6)因为0256.04.06.0)0(4004CXP1536.04.06.0)1(3114CXP3456.04.06.0)2(2224CXP3456.04.06.0)3(1334CXP1296.04.06.0)4(0444CXP所以Y的分布律为Y0153055100P0.02560.15360.34560.34560.1296故期望得分为1296.01003456.0553456.0301536.0150256.00)(YE=44.644.6设随机变量X的概率分布为132{(1)}(1,2,,),3kkkkPXk说明X的期望不存在。解:级数1111322(1)3kkkkkkkkxpkk发散,不符合离散型随机变量期望定义的要求,从而X的期望不存在.4.7设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,在各交通岗遇到红灯是相互独立的,其概率均为0.4.求途中遇到红灯次数的期望.解：设遇到红灯次数为X，依题意，知X~B(3,0.4)故2.14.03)(XE4.8设随机变量X的概率密度函数为,01,()2,120,xxfxxx其他,求().EX解：3122123201011()()(2)()1.33xEXxfxdxxdxxxdxxx4.9设随机变量X的概率密度函数为,02,(),240,axxfxbxcx其他又3()2,{13}4EXPX,求常数,,abc的值.解：由()1fxdx2402()axdxbxcdx，得1262cba①因为dxcbxxdxxaxdxxxfXE4220)()()(cba635638所以，由2)(XE，得2635638cba②又dxcbxdxaxXP3221)()31(cba2523由43)31(XP，得432523cba③解联立方程①②③，得41a，41b，1c4.10设随机变量X的概率密度函数为21(),,(1)fxxx说明X的期望不存在.解:积分2202()(1)1xxxfxdxdxdxxx,显然,积分发散,根据连续型随机变量期望的定义,X的期望不存在.4.11某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩X(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的考生占考生总数的2.3%.求考生外语成绩在60分至84分之间的概率.解：设),(~2NX，依题意得，72)(XE又023.0%3.2)96(XP，则)2(977.0)96(XP即有)2()7296(所以27296得12所以)12,72(~2NX故所求的概率为)1|1272(|)12|72(|)8460(XPXPXP6826.018413.021)1(24.12对习题4.1中的随机变量X,计算22()(54)EXEX、.解：21.032.023.014.00)(22222XE144254)(5)45(22XEXE4.13设随机变量X的概率密度函数为,0,()0,0,xexfxx,分别计算2YX的期望和2XYe的期望解：因为)(~EX，其中1，所以11)(XE故212)(2)2()(XEXEYE31)()(030222dxedxeedxxfeeExxxxX4.14对球的直径做近似测量,设其值均匀分布在区间(,)ab内,求球体积的均值.解：设球的直径测量值为X，体积为V，则有316VX.显然X的概率密度函数为1,,()0,,axbfxba其他因此,球体积的均值为2233111()()()()6624baababEVEXxdxba.4.15游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光,电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起运行.设某一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处,且~[0,60]XU,求该游客等候时间的期望.解:用随机变量Y表示游客的等候时间(单位:分钟),则()YgX,其函数关系为5,05,25,525,()55,2555,65,5560.xxxxygxxxxx由于~[0,60]XU,根据随机变量函数的期望公式,可得游客等候时间的期望为525556005255570()[()](5)(25)(55)(65).6EYEgXxdxxdxxdxxdx4.16设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为212,01,(,)0,,yyxfxy其他,求22(),(),(),()EXEYEXYEXY.解：因为，当10x时，302412),()(xdyydyyxfxfxX当10y时，)1(1212),()(212yydxydxyxfyfyY所以，544)()(310dxxxdxxxfXEX53)1(12)()(102dyyyydyyyfYEYdyyxydxdxdyyxxyfXYEx100212),()(21331051004dxxdxyxx又324)()(310222dxxxdxxfxXEX52)1(12)()(102222dyyyydyyfyYEY故15165232)()()(2222YEXEYXE4.17设随机变量X与Y相互独立,概率密度函数分别为2,01,()0,,Xxxfx其他和5,5,()0,5,yYeyfyy求()EXY.解：322)()(10xdxxdxxxfXE，)()()(5555yyeyddyeydyyyfYE6155555555yyyedyeye因为X和Y相互独立，所以4632)()()(YEXEXYE.4.18设二维随机向量(,)XY服从圆域222{(,):}DxyxyR上的均匀分布,求22()EXY.解:根据二维随机向量的计算公式：2222222222()(,),xyRxyEXYxyfxydxdydxdyR此积分用极坐标计算较为方便，于是有222220012()3RREXYrdrdR4.19设随机变量X与Y相互独立,并且均服从(0,)U,求(max{,})EXY.解：由于X服从(0,)U，故其分布函数为0,0,(),0,1,.XxxFxxx同理，Y服从(0,)U，故其分布函数为0,0,(),0,1,.YyyFyyy于是根据公式3.7.5，max{,}XY的分布函数为2max20,0,(),0,1,.zzFzzz求到后得密度函数2max2,0,()0,.zzfz其他因此+max-2(max{,})=().3EXYzfzdz4.20民航机场的一辆送客汽车每次载20名旅客自机场开出,沿途有10个车站.若到达一个车站时没有旅客下车,就不停车.设每名旅客在各个车站下车的概率是等可能的,求汽车的平均停车次数.解：用随机变量X表示汽车的10个车站总的停车次数，并记1,0iiXi第站有旅游下车，，第站无旅游下车，1,2,,10,i显然，iX均服从两点分布，且1210XXXX，于是有202099{0}(),{1}1(),1010iiPXPX由此求得202099()1()0.8784,()10[1()]8.7841010iEXEX.4.21将一颗均匀的骰子连掷10次,求所得点数之和的期望.解：设Xi表示第i次掷出的点数(i=1,2,…,10)，则掷10次骰子的点数之和为101iiXX。因为Xi的分布律为61)(kXPi(k=1,2,…,6)，所以27616615614613612611)(iXE故10110135271027)()(iiiXEXE.4.22在习题4.4中,若直到命中目标n次为止,求射击次数的期望.解：设kX是从第1k次命中目标到第k次命中目标之间的射击次数，kX的分布律为1()(1),1,2,,1,2,mkPXmppmk记随机变量12nXXXX，并且注意到随机变量12,,nXXX概率分布相同，因此1()().nEXnEXp4.23求习题4.1中随机变量,XY的方差.解：由T4.1知1)(XE，9.0)(YE，由T4.12知2)(2XE又3.1032.025.013.00)(22222YE故112)()()(222EXXEXVar49.09.03.1)()()(222EYYEYVar.4.24求习题4.9中随机变量X的方差解:由T4.1知()2EX，2422323021114()()(4).443EXxfxdxxdxxxdx故222()()()3VarXEXEX4.25设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为1,11,11,(,)40,,xyxyfxy其他,求()