概率论与数理统计习题8详细解答

习题八8.1某油品公司的桶装润滑油标定重量为10千克。商品检验部门从市场上随机抽取10桶，称得它们的重量(单位：千克)分别是10.2,9.7,10.1,10.3,10.1,9.8,9.9,10.4,10.3,9.8.假设每桶油实际重量服从正态分布.试在显著性水平01.0下，检验该公司的桶装润滑油重量是否确为10千克，试给出检验的p值的计算公式.解：问题归结为检验如下假设10:10:10HH此处n=10，01.0，S=0.246.25.321nt，于是拒绝域为253.010246.025.325.30nSX而253.006.01006.100X，所以我们接受原假设，即桶装润滑油重量确为10千克。可以算得，该检验的P值为5.0771.010/246.01006.10/10nTPnSXP8.2假设香烟中尼古丁含量服从正态分布，现从某牌香烟中随机抽取20支，其尼古丁含量的平均值6.18X毫克，样本标准差S=2.4毫克，取显著性水平01.0，我们能否接受“该种香烟的尼古丁含量的均值18毫克”的断言?解：问题归结为检验如下假设18:18:10HH此处n=20，01.0，S=2.4.86.221nt，于是拒绝域为53.1204.286.29.2||0nSX而53.16.0186.18||0X，所以我们接受原假设，即我们接受“该种香烟的尼古丁含量的均值18毫克”的断言.8.3(1)考虑正态总体),(2N和假设检验问题0100::HH证明:当2已知时，则拒绝域为ZnX0的检验的显著性水平为。若2未知则拒绝域为)(10ntnX的检验的显著性水平为.(2)在习题8.2中，对4.2毫克和S=2.4毫克两种情况，我们能否接受“该牌的香烟尼古丁含量不超过17.5毫克”的断言?证明：(1)取显著水平0，对于正态总体),(2N和假设检验问题0100::HH因0H中的均值都比1H中的小，所以从直观上看，较合理的检验法则应当是：若观察值X与0的差过分大，即0Xc时，我们拒绝接受0H.采用与书中类似的讨论，可以推出Znc于是拒绝域为ZnX0类似地，当2未知则拒绝域为)(10ntnX.(2)第1种情况，4.2，问题归结为检验如下假设5.17:18:10HH此处n=20，01.0，4.2.33.2Z，于是拒绝域为25.12033.24.20nZX而25.11.15.176.180X，所以我们接受原假设，即我们接受“该种香烟的尼古丁含量的均值5.17毫克”的断言.第2种情况，S=2.4，问题归结为检验如下假设5.17:18:10HH此处n=20，01.0，S=2.4.33.21nt，于是拒绝域为36.153.2204.2)(10ntnSX而36.11.175.16.180X，所以我们接受原假设，即我们接受“该种香烟的尼古丁含量的均值5.17毫克”的断言.8.4设某厂生产的产品尺寸服从正态分布),(2N，规定标准尺寸为120毫米，现从该厂抽得5件产品测量其尺寸分别为119,120,119.2,119.7,119.6试判断产品是否符合规定要求,即检验假设120:120:10HH(显著性水平=0.05).解：问题归结为检验如下假设120:120:10HH此处n=5，05.0，经计4.0S.查表78.2)025.0(1nt，于是拒绝域为497.078.254.0)(||210ntnSX而样本观察值5.119X，497.05.0|1205.119|||0X，所以我们不接受原假设，即可判断产品不符合规定要求.8.5设甲、乙两煤矿所产的煤中含煤粉率分别为)5.7,(1N和)6.2,(2N为检验这两个煤矿的煤含煤粉率有无明显差异，从两矿中取样若干份，测试结果如下：甲矿：24.3,20.8,23.7,21.3,17.4，乙矿：18.2,16.9,20.2,16.7试在显著性水平=0.05下，检验“含煤粉率无差异”这个假设。解：问题归结为检验如下假设211210::HH此处55.721，m；46.222，m，查表得96.12/Z，在显著性水平=0.05下的拒绝域为87.246.255.796.122212/nmZYX经计算样本观察值185.21Y，X，87.25.3185.21YX，因此我们不接受原假设，即可判断这两个煤矿的煤含煤粉率有明显差异，甲矿的煤含煤粉率高于乙矿的煤含煤粉率。8.6比较A、B两种小麦品种蛋白质含量，随机抽取A种小麦10个样品，测得3.14X，21S=1.62.随机抽取B种小麦5个样品，测得7.11Y,22S=0.14,假定这两种小麦蛋白质含量都服从正态分布，且具有相同方差，试在01.0水平下，检验两种小麦的蛋白质含量有无差异。解：问题归结为检验如下假设211210::HH此处已知2221未知；21S=1.62，22S=0.14，16.1251014.0462.192)1()1(22212nmSnSmS查表得01.3)005.0(2nmt，在显著性水平=0.01下的拒绝域为78.101.316.1510510)2(2nmStmnnmYX样本观察值78.16.27.113.14YX，因此我们不接受原假设，即可判断A种小麦的蛋白质含量高于B种小麦的蛋白质含量。8.7由于存在声音反射的原因，人们在讲英语时在辅音识别上会遇到麻烦。有人随机选取了10个以英语为母语的人(记为A组)和10个以英语为外国语的人(记为B组)，进行了试验，下面记录了他们正确反应的比例(%).A组：93,85,89,81,88,88,89,85,85,87,B组：76,84,78,73,78,76,70,82,79,77.假定这些数据都来自正态总体，且具有公共方差，试在=0.05下，检验这两组的反应是否有显著差异？解：问题归结为检验如下假设211210::HH此处已知2221未知；经计算22123.3S，22203.4S，3.132101003.4923.392)1()1(2222212nmSnSmS查表得1.2)025.0(2nmt，在显著性水平=0.05下的拒绝域为42.31.23.1310101010)2(2nmStmnnmYX经计算样本观察值，3.7787Y，X42.37.93.7787YX，因此我们不接受原假设，即可判断A组的反应高于B的反应。8.8某厂生产的瓶装纯净水要求标准差02.0升，现在从超级市场上随机抽取20瓶这样的纯净水，发现它们所装水量的样本标准差S=0.03升.假定瓶装纯净水装水量服从正态分布，试问在显著性水平=0.05下，我们能否认为它们达到了标准差02.0升的要求？解：问题归结为检验如下假设22122002.0:02.0:HH这里n=20,85.32025.0221921n，90.8975.02121921n。又已知S=0.03，因为85.3275.4202.003.019)1(22202Sn所以我们不接受原假设，即可判断该厂生产的瓶装纯净水不符合标准差02.0升的要求。8.9试写出检验(8.36)的推导过程.见教材P.183。略8.10试对习题8.7的数据，检验假设2221122210::HH解：因为m=n=10,在显著性水平=0.05下的拒绝域为03.4025.029,91,12221FFSSnm248.003.41)025.0(1975.0219,99,91,12221FFFSSnm而642.003.423.3222221SS，)03.4,248.0(642.0所以两组的方差无差异。8.11某种导线要求电阻标准差不超过0.005欧姆，今在生产的一批导线中随机抽取9根测量后算得S=0.07欧姆.设电阻测量值服从正态分布，问在=0.05下，能否认为这批导线的电阻值满足原来的要求？解：问题归结为检验如下假设221220005.0:005.0:HH这里n=9,51.1505.02821n。又已知S=0.07，因为51.1568.1505.007.08)1(22202Sn所以我们不接受原假设，即认为这批导线的电阻值不满足原来的要求。8.12孟德尔豌豆试验中有一次观测到黄色和绿色豆子的数目分别为70和27，试在显著性水平=0.05下，检验“黄色和绿色豆子的数目为3：1”的理论。解：定义随机变量.0,1若豆是绿色若豆是黄色，，X记)0(),1(21XPpXPp，我们要检验假设41,43:210ppH(1)将),(分成两个区间),21(1I，)21,(2I(2)计算每个区间上的理论频数，这里n=70+27=9775.7243971np，25.2441972np(3)实际频数，901f，272f(4)416.025.24)25.2427(75.72)75.7270(222查表得416.084.3)05.0()05.0(2121k，所以我们接受原假设，即认为黄色和绿色豆子的数目为3：1。8.13在一个复杂试验中，孟德尔同时考虑豌豆的颜色和形状，一共有四种组合：(黄,圆)，(黄,非圆)，(绿,圆)，(绿,非圆)，按孟德尔理论这四类应有9:3:3:1的比例在一次观察中，他发现这四类观测到的数目分别为315,101,108和32，试在=0.05下，检验“9:3:3:1”这个理论。解：定义随机变量随机事件(黄,圆)(黄,非圆)(绿,圆)(绿,非圆)随机变量X1234记)4()3()2(),1(4321XP，pXP，pXPpXPp，我们要检验假设161163163,169:43210，p，pppH(1)将),(分成四个区间),5.3(],5.3,5.2(],5.2,5.1(],5.1,(4321IIII，)21,(2I(2)计算每个区间上的理论频数，这里n=315+101+108+32=55675.34161556,25.104163556,75.3121695564321npnpnpnp(3)实际频数，32,108,101,3154321ffff(4)75.34)75.3432(25.104)25.104108(25.104)25.104101(75.312)75.312315(22222470.021763.013489.010132.001619.0查表得470.0348.9)05.0()05.0(2321k，所以我们接受原假设，即接受“9:3:3:1”这个理论。8.14某汽车修理公司想知道每天送来修理的车数是否服从泊松分布下表给出了该公司250天的送修车数：送修车数012345678910送这么多车的天数2821314448392217135试在=0.05下，检验原假设：一天内送修车数服从泊松分布)(P。解：定义随机变量X为一天送修车数，X的取值有：0,1,2,…,10.(1)将),(分成十一个区间),5.9(,9,,2,1]