34高二数学函数的单调性与导数

1.求过曲线y=x3-2x上的点(1,-1)的切线方程方程相切的直线且与曲线求过点11)1,1(.22xy求过某点的曲线的切线方程时，除了要判断该点是否在曲线上，还要分“该点是切点”和“该点不是切点”两种情况进行讨论，解法复制。若设M(x0,y0)为曲线y=f(x)上一点，则以M为切点的曲线的切线方程可设为y-y0=f’(x)(x-x0)，利用此切线方程可以简化解题，避免疏漏。1.3.1函数的单调性与导数（4）.对数函数的导数:.1)(ln)1(xx.ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数:.)()1(xxee).1,0(ln)()2(aaaaaxxxxcos)(sin1）（（3）.三角函数：xxsin)(cos2）（（1）.常函数：(C)/0,(c为常数)；（2）.幂函数：(xn)/nxn1一、复习回顾：基本初等函数的导数公式函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)二、复习引入:oyxyox1oyx1xy1122xxyxy3在（－∞，0）和（0,＋∞）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。在（－∞，1）上是减函数，在（1,＋∞）上是增函数。在(－∞,＋∞)上是增函数概念回顾画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间(1)函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下,比较f(x1)f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.观察:下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?105.69.4)(2ttth5.69.4)(ttvaabbttvhOO①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,.0)()(thtv②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,.0)()(thtv(1)(2)xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3xy1观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.0)(xf)(xfy0)(xf)(xfy如果恒有，则是常数。)(xf0)('xf题1已知导函数的下列信息:当1x4时,当x4,或x1时,当x=4,或x=1时,)(xf;0)(xf;0)(xf.0)(xf试画出函数的图象的大致形状.)(xf解:当1x4时,可知在此区间内单调递增;,0)(xf)(xf当x4,或x1时,可知在此区间内单调递减;,0)(xf)(xf当x=4,或x=1时,.0)(xf综上,函数图象的大致形状如右图所示.)(xfxyO14题2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(1)因为,所以xxxf3)(3.0)1(333)(22xxxf因此,函数在上单调递增.xxxf3)(3Rx(2)因为,所以32)(2xxxf).1(222)(xxxf当,即时,函数单调递增;0)(xf1x32)(2xxxf当,即时,函数单调递减.0)(xf1x32)(2xxxf题2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(3)因为,所以),0(,sin)(xxxxf.01cos)(xxf因此,函数在上单调递减.xxxfsin)(),0(x(4)因为,所以12432)(23xxxxf当,即时,函数单调递增;0)(xf21712171xx或)(xf当,即时,函数单调递减.0)(xf2466)(2xxxf21712171x)(xf1、求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1)求f’(x)(2)解不等式f’(x)0(或f’(x)0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求f’(x)(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号(3)作出结论练习判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;)()2(;42)()1(2xexfxxxfx.)()4(;3)()3(233xxxxfxxxf例3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓.)(xfy),0(b)0,(a),(b),(a练习2.函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状)(xfy)(xf练习3.讨论二次函数的单调区间.)0()(2acbxaxxf解:)0()(2acbxaxxf.2)(baxxf0)1(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab0)2(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab练习4.求证:函数在内是减函数.762)(23xxxf解:762)(23xxxf.126)(2xxxf)2,0(由,解得,所以函数的递减区间是,即函数在内是减函数.0)(xf20x)(xf)2,0()2,0()(xf一、求参数的取值范围325例1：求参数的范围若函数f(x)在(-,+)上单调递增，求a的取值范围ax-xx-13a2120101已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围fxaxx,,fxxx,a.322()f'xax增例2：求参数解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增32()0,即在（0，1]上恒成立f'xa-xx31max而()在（0，1]上单调递增，()(1)=-1gxxgxg1〉a-2120101已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围fxaxx,,fxxx,a.增例2：322当a1时，()f'xx1对x（0，1）也有()〉0时，（）在(0,1)上是增函数f'xa-fx所以a的范围是[-1，+）在某个区间上，，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证()0(或0)f'x()0(或0)f'x2120101已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围fxaxx,,fxxx,a.增例2：322当a1时，()f'xx1对x（0，1）也有()〉0时，（）在(0,1)上是增函数f'xa-fx所以a的范围是[-1，+）本题用到一个重要的转化：maxminm≥f()恒成立()()恒成立()xmfxmfxmfx320已知函数()=，(0,1],,若()在（0，1]上是增函数，求的取值范围练。习2fxax-xxafxa3[)2,例3：方程根的问题求证：方程只有一个根。102xsinx12110201002f()在（，）上是单调函数，而当时，（)=0方程有唯一的根f(x)x-sinx,x(,)f'(x)cosxxxfxxsinxx.作业：已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。；了千万里之外的故乡，返回到了似乎有一些遥远了的童年时代，想到了母亲，想到了妹妹，想到了慈祥的姥娘和姥爷，想到了舅舅一家，也想到了童年的伙伴们，尤其是心灵手巧温顺善良的秀儿、憨厚豪爽的大壮走了一会儿神，耿正无比美妙的二胡乐曲声儿又将耿英拉回到了眼前的现实中。眼前，除了这几乎可以说是天籁之音的二胡乐曲声之外，屋子里再没有一点点其他的声音了。耿英抬头望望白幺爹。但见他微微闭目，轻轻晃动着身体，双手无声地拍打着自己的双膝盖，一副陶醉享受的样子。耿英感觉非常欣慰，心下里想，以后白幺爹每次出江回来，都要让哥哥给他拉二胡听！白家这个当家人也真够不容易的，一年里绝大部分时间都在长江上漂。温馨的家对于这个善良憨厚的魁梧汉子来说，更像是人生旅途中的客栈一样，但他怎么对妻子和女儿对他的关爱就那么不领情呢！耿英有点儿不解地轻轻地摇摇头，苦笑了一下。这样想着，耿英再转头看看乔氏母女。只见小青正陶醉在另外一种境界中：与其说她是在用心地聆听乐曲儿，还不如说她是在瞪大眼睛看乐曲儿；不，是在看耿正正在拉着的二胡，看耿正拉二胡的手和胳膊，看耿正拉二胡的姿态慢慢地，她的目光从耿正的胳膊上移动到了脸上，目不转睛且柔情似水。一会儿，竟然羞涩地低下了头，只敢偷偷地瞄一眼耿正支撑着二胡琴筒的膝盖、微微摆动的裤腿和踩在地上的鞋子。耿英再看看乔氏，发现她正在满脸欣喜地看着耿正，眼眶里似乎还有一些清澈的东西在不算太明亮的灯光下闪闪发光。然而，端坐在那里专注地拉二胡的耿正，对于母女二人的这些有点儿反常的表现浑然不觉！耿英心里暗叫：“不好！莫不是”隔着哥哥，耿英看不明了爹爹和弟弟的表情。耿英知道，弟弟年幼尚不知晓大人们的那些个情感之事，因此间心里只念着：爹爹呀，你可别像白幺爹那样闭着眼睛听啊！夜慢慢深了，但除了耿英之外，拉曲儿的、听曲儿的和看拉曲儿的，似乎都忘记了时间怎么来唤醒大家呢？想一想，耿英慢慢地挪动身子，努力地伸长右腿，再伸长一点儿，终于够得着哥哥的脚尖了；再往前用力推一推，耿正终于从忘我的状态中回过神儿来。他完全领会了妹妹的意思，轻松地拉了一小段过门儿曲后，乐曲声儿戛然而止。少顷，大家也从各自忘情的姿态中回归了。耿直高兴地说：“哥哥，你拉得太好了！好久没有听到这么好听的曲儿了！”乔氏拿手绢擦擦眼睛，笑着说：“看我，怎么高兴地都给流眼泪了！”她又转头看看女儿，高兴地说：“我们娘儿俩从来没有听过这么好听的曲儿，今儿个可真是开了眼界了！”小青也红着脸笑着说：“是呀，真正是开了眼界哩！”白百大则意味深长地说：“正伢子啊，幺爹多么想每天听你拉二胡啊！”耿老