新北师大九年级上第一章特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定(2)

1.2矩形的性质与判定（2）第一章特殊平行四边形北师大版数学九年级上册矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形性质角边对角线对称性四个角都是直角对边平行且相等互相平分且相等中心对称图形,轴对称图形直角三角形的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．想一想：你认为判断一个四边形是不是矩形，还能用一些什么方法呢？平行四边形矩形平行四边形具备什么条件时成为矩形呢？平行四边形矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.想一想：你认为判断一个四边形是不是矩形，还能用一些什么方法呢？木工师傅怎么知道两组对边相等的四边形窗框是矩形呢？除度量角度之外,木工师傅度量什么也能知道做好的门框是矩形呢?对角线相等的平行四边形是矩形。已知：平行四边形ABCD，AC=BD。求证：四边形ABCD是矩形。ABCD证明:∵平行四边形ABCD∴AB=CD∵BC=BCAC=BD∴△ABC≌△DCB（SSS）∵AB//CD∴∠ABC+∠DCB=180°∴∠ABC=∠DCB=90°又∵四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠DCB如果四边形ABCD的对角线AC=BD,这样的四边形是不是矩形?ABCDABCDAC=BDAC=BD对角线相等的平行四边形是矩形。矩形的判定方法：几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形AC=BD∴四边形ABCD是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）ABCDO（或OA=OC=OB=OD）用画“边－直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形，就是一个矩形，这个判断对吗？②①③④有三个角是直角的四边形是矩形ABCD已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°求证：四边形ABCD是矩形证明：∵∠A=∠B=∠C=90°∴∠A+∠B=180°∠B+∠C=180°∴AD∥BC，AB∥DC∴四边形ABCD是平行四边形∵∠A=90°∴四边形ABCD是矩形矩形判定定理∵四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°∴□ABCD是矩形你能归纳矩形的几种判定方法吗？有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。有三个角是直角的四边形是矩形。方法1：方法2：方法3：例1：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC，求证：四边形ABCD是矩形。ABCDM要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或者对角线相等。例2已知□ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积.ABCDOSABCD∴=AB·BC=4×4=1633cm2解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AC=2OA，BD=2OB∵△AOB是等边三角形∴OA=OB∴AC=BD∴ABCD是矩形∴∠ABC=90°在Rt△ABC中，∵AB=4cm，AC=2AO=8cm∴BC=)(344822cm1.下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（5）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；（4）有三个角都相等的四边形是矩形;XXXX2.已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形．3.已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，CM∥BD,DM∥AC.求证:四边形OCMD是矩形.ABCDOM4、已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、BC和AD、CD分别相交于点B、D．（1）猜想AC和BD间的关系是______；（2）试用理由说明你的猜想．相等且互相平分5、在平行四边形ABCD中,对角线ACBD相交于O,EF过O,且AF⊥BC,求证:四边形AFCE是矩形ABCDOFE∠A=∠B=∠C=90°ABCDAC=BDABCD∠A=90°ABCD是矩形四边形ABCD是矩形判定一个四边形是矩形的方法是：本节课我们学习了什么内容，你能总结吗？