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1坐标法解立体几何解答题教学目的:1、熟练掌握空间向量的有关知识;2、能灵活运用坐标法解决立体几何解答题的有关问题;3、进一步提高学生的空间想象能力和运算能力。教学重点:1、建立适当的空间直角坐标系;2、正确写出点的坐标;3、求平面的法向量;4、灵活运用坐标法解决空间角、空间距离等问题教学难点:求平面的法向量授课类型:专题复习教学方法:启发引导式教具准备:幻灯片20张教学过程:一、复习引入:空间向量解决立体几何问题主要有两个基本方法:坐标法与基底法。本节课着重研究利用坐标法解决立体几何解答题。1、空间向量的有关知识:(幻灯片投影)(1)设点)z,y,B(x)z,y,A(x222111、,则),,(121212zzyyxxAB;(2)设向量),,(),,,(222111zyxbzyxa,则①212121zzyyxxba;②a∥),,(),,(222111zyxzyxbab;③0212121zzyyxxbaba;(3)设向量),,(zyxa,则222zyxa;(4)bababa,cosba的夹角:、向量;2、坐标法解决立体几何解答题的步骤:(幻灯片投影)(1)建立适当的空间直角坐标系;(2)写出相应的点的坐标;2l(3)解决问题:(幻灯片投影)(一)求空间角问题:空间的角主要有:异面直线所成的角;直线和平面所成的角;二面角。①求异面直线所成的角:设a、b分别为异面直线a、b的方向向量,则两异面直线所成的角=arccos||||||abab。②求线面角:设l是斜线l的方向向量,n是平面的法向量,则斜线l与平面所成的角2,,2nlnl或③求二面角:法一:在内al,在内bl,其方向如图,则二面角l的平面角babaarccos法二:设mn、是二面角l的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角l的平面角nmnmarccos(二)求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离,这里着重介绍点面距离的求法。设n是平面的法向量,在内取一点B,则A到的距离|||||cos|||ABndABn二、例题讲解:例1、四棱锥ABCDS中,090ABCDAB,SA平面ABCD,aAD2,aBCABSA。(1)求证:平面SAC平面SCD;(2)求A到平面SCD的距离;3CBASDxyz(3)求SD和AC所成的角.(苏州中学高三数学第一次模考试卷)(幻灯片投影)(1)证明:轴为轴,为如图,以yADxAB,xyzA建立空间直角坐标系,则),0,0()0,2,0()0,,()0,0,0(aSaDaaCA、、、,),0,0(),0,,(aSAaaAC,,),,(111SAmACmSACzyxm则的法向量,是平面设)0,1,1(,0,1100000111111mzyxazSAmayaxACm,得取),0,,(),,2,0(,,),,(222aaCDaaSDCDnSDnSCDzyxn而的法向量,则是平面设)2,1,1(,2,11,000202222222nzxyayaxSAnazaySDn,得取SCDSACnm平面平面,0201)1(11;(2)解:的法向量是平面)知由(SCDn)2,1,1(1,aannSAdSCDA3662的距离到平面(3)解:)0,,(),,2,0(aaACaaSD510252,cos2aaaACSDACSDACSD,SD和AC所成的角就等于10arccos5另解:(传统方法)(1)2ACCDa,又2ADa,4xyz222ACCDADCDAC,又CDSACD平面SAC,平面SAC平面SCD;(2)过A作AHSC于H,由⑴知AH平面SCD,AH的长就等于点A到平面SCD的距离,在RtSAC中,63SAACAHaSC,所求距离为63a.(3)取SA的中点E,SC的中点M,AD的中点N,则EM∥AC,EN∥SD,SD和AC所成的角就等于MEN,22EMa,52ENa,32MNa,10arccos5MENSD和AC所成的角就等于10arccos5。注:(1)对两种解法进行分析、小结;(2)归纳求平面法向量的方法与步骤。例2、在直三棱柱111CBAABC中,BCAC,11BCAA,2AC,点M是1BB的中点,Q是AB的中点.(1)若P是11CA上的一动点,求证:CMPQ;(2)求二面角CBAA1的余弦值.(湖北省宜昌市高三第二次调研考试)(幻灯片投影)(1)证明:,则系轴,建立空间直角坐标为轴,为如图,以xyzCyCBxCA,设、、、、、)1,0,(),1,0,2()21,1,0()0,21,22()0,1,0()0,0,2()0,0,0(1xPAMQBAC则)21,1,0(),1,21,22(CMxPQ,CMPQxCMPQ,)()0211121022((2)解:ABmAAmBAAzyxm,),,(11111的法向量,则是平面设,而),,,(),,,(0121001ABAA5)0,2,1(,0,210020001111111mzyxyxABmzAAm,得取,11222,),,(CAnBCnBCAzyxn的法向量,则是平面设,),,,(),,,(而1020101CABC)2,0,1(,2,010120002222212nzyxzxCAnyBCn,得取。的平面角的余弦值为二面角31,31331,cos1CBAAnmnmnm注:此题若用传统方法解决,(1)题可通过转化为证明CM⊥平面P1CNQ(其中N为BC的中点),但对有些同学而言难度较大。(幻灯片投影)例3、如图,已知四棱锥P—ABCD的底面是边长为2的菱形,且∠BAD=60°,PA⊥平面ABCD,且PA=1,E、F分别是BC、PA的中点。(1)求证:BF//平面PED;(2)求二面角P—DE—A的大小;(3)求点C到平面PED的距离.(江西省南昌市高三年级第一次调研)解法一:(1)取AD的中点为G,连BG,则BG//ED,∴BG∥平面PDE在△PAD中,F、G分别为所在边中点,∴FG∥PD,∴FG∥平面PDE∴平面BFG∥平面PDE,∴BF//平面PED.(2)以A为原点,过点A且平行DE的直线为x轴,AD,AP所在直线分别为y轴、z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,)2,1,0(0302),,()0,0,3(),1,2,0(),0,2,3(11nxzyzyxnPDEDEPDE得法向量设平面6MFCDABE又∵平面ABCD的法向量)1,0,0(2n,552512),cos(21nn∴二面角A—DE—P的大小为552arccos,(3))0,1,0(),0,3,3(CE又,∴点C到平面PDE的距离.55||||11nCEnd注:用坐标法解此题,建立空间直角坐标系和正确写出点的坐标是个难点。思考:若注意到底面是菱形,那么以AC所在直线为x轴,DB所在直线分别为y轴,建立空间直角坐标系A-xyz,可以简化运算。(幻灯片投影)例4、直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AC,∠BAC=120°,∠BA1C=90°。(1)求A1B与AC所成的角的余弦值;(2)求二面角C—A1B—A的大小。(吉林省实验中学高三年级第三次检测题)分析:由AB=AC知底面是等腰三角形,故可以以底边BC所在直线为x轴,BC的高所在直线分别为y轴,建立空间直角坐标系O-xyz,则容易写出各个点的坐标。解:(略)(1)A1B与AC所成的角的余弦值为66;(2)二面角C—A1B—A的大小为45°。三、练习:(幻灯片投影)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点。(1)求证:AM//平面BDE;(2)求二面角A-DF-B的大小;(3)试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的角是60。(华中师大一附中高三高考模拟考试)思路分析:建系方法一:以AB、AD、AF所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系A-xyz。建系方法二:以BD、AC、OM所在直线分别为x轴、y轴、ABCA1B1C1yzxO7z轴,建立空间直角坐标系A-xyz(其中O为BD、AC的交点)。答案:(2)二面角A-DF-B的大小为60(3)P恰为AC中点时,PF与BC所成角是60。四、课堂小结:(幻灯片投影)1、建立适当的空间直角坐标系(关键是寻找三条两两垂直的直线);2、求平面的法向量的步骤;3、灵活运用坐标法解决空间角、空间距离等问题。五、作业:完成印发练习。
本文标题:坐标法解立体几何解答题
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