受弯、偏压构件计算例题

《混凝土结构设计原理》—计算题的思路及例题分析制作李方圆目录受弯构件计算内容★一、受弯构件正截面受弯承载力计算☆☆☆计算应力图形★计算公式及适用条件★解题思路★不满足适用条件情形★例1★例2★例3★例4★例5★例6★例7★例8★例9★例10★二、受弯构件斜截面受剪承载力计算☆☆☆计算公式及适用条件★计算斜截面位置、计算思路★设计步骤★复核步骤★例11★例12★例13★例14★例15★例16★例17★计算题注意事项★受弯构件计算内容uumaxlimlimMMVVwwff⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩正截面受弯承载力计算（确定）：≤承载能力极限状态计算斜截面受弯承载力：一般通过构造保证斜截面受剪承载力计算（确定）：≤裂缝宽度：≤正常使用极限状态验算最大挠度：≤纵筋腹筋目录一、受弯构件正截面受弯承载力计算1.正截面计算应力图形αcf10hξsAfyuMsa0ha0hξuMsAfysh0αcf1sAfy''sa'单筋矩形截面双筋矩形截面目录2.矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算公式及适用条件()sy01c2us01css,minminbsy01csy2us01csy0s==:===AfbhfMMbhfAAbhAfbhfAfMMbhfAfhaξαααρξξξααα⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩′′+⎧⎪⎨′′′+−⎪⎩计算公式：≤单筋矩形截面下限（保证不发生少筋梁的破坏）≥适用条件：上限（保证破坏时纵向受拉钢筋达到屈服）：≤计算公式：≤双筋矩形截面下限适用条件：()s0bss0:/10.5=112ahxhξξξξαξξξα⎧⎪⎪⎨′⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩==−−−（保证破坏时纵向受压钢筋达到屈服）≥2上限（保证破坏时纵向受拉钢筋达到屈服）：≤式中，相对受压区高度，内力臂系数，同时有（备注）目录3.正截面受弯计算解题思路上述两个独立方程可根据受弯构件截面的计算应力图形由截面的两个静力平衡条件受弯构件正截面受弯承载力计算公式中包括两个独立方程，因此只能联立求解两个独立未知数。解题前，须先根据受拉钢筋As是否已知，来判断属于截面复核问题还是截面设计问题；然后再找出未知数个数。当只有两个未知数时，可直接由基本计算公式联立求解，但必须注意，只有在公式的上、下限范围内求得的才是真解。对于截面设计问题，在基本公式中应取M=Mu（取等号），按照极限状态设计。但截面复核时则不能取等号，往往需要验算不等式M≤Mu是否成立，从而判断截面是否安全。00sAXM==∑∑和得到。目录不满足适用条件情形复核问题：特点是配筋为已知（均为两个未知数ξ和Mu）。直接解联立方程求出ξ。无论单筋或双筋截面，当不满足计算公式的上限ξ≤ξb时，说明破坏时As达不到fy，近似取ξ=ξb，并对As合力作用点取矩求Mu。双筋截面当不满足计算公式的下限时，说明破坏时达不到，近似取（此时受压钢筋与受压区混凝土的合力作用线重合），并对合力作用点取矩求Mu。单筋截面一般极少出现不满足计算公式下限情形（出现少筋梁的破坏、承载力很低）。（备注）设计问题：特点是受拉钢筋未知。单筋截面，当不满足计算公式的下限时，应减小截面高度h；当不满足计算公式的上限时，可改为双筋截面计算。双筋截面，当受压钢筋未知时（三个未知数），可由用钢量最省且满足公式上限先确定ξ，再由两个平衡方程求钢筋面积，适用条件满足。双筋截面，当受压钢筋已知时（两个未知数），先由基本计算公式求出ξ，当不满足计算公式的下限时，说明已有受压钢筋过多（但不可减少）不能达屈服，可对受压钢筋合力作用点取矩近似计算Mu；当不满足计算公式的上限时，说明已有受压钢筋不足，应按受压钢筋未知情形计算受压和受拉钢筋面积。yf′sA′s02/ahξ′≥s02/ahξ′=sA′s02/ahξ′≥目录【例1】：受弯构件正截面承载力设计问题：单筋，上、下限均满足。s0s2tminss,minminy6s2201c2035mm=465mm2max0.45,0.2%0.2%250mm150100.233250465111.9achhafAbhfMfAbhραξρα=+=−=⎧⎫⎪⎪====⎨⎬⎪⎪⎩⎭×===×××，，按单筋截面两个未知量、计算（）sbs1c0y22s,min1120.2690.518/0.269111.9250465/3601033.7mm250mmAfbhfAξαξξα=−−====××××==＜＞矩形截面钢筋混凝土梁，截面尺寸，混凝土采用C25（fc=11.9N/mm2，ft=1.27N/mm2），纵向钢筋采用HRB400级（），一类使用环境（混凝土保护层最小厚度为25mm）。若弯矩设计值M=150kN·m。试确定梁内纵筋数量。解：由于受拉钢筋未知，故属于截面设计问题。250mm500mmbh×=×2yy360N/mmff′==选用322（As=1140mm2）。目录【例2】：受弯构件正截面承载力设计问题：单筋，上限不满足。条件同例1。但弯矩设计值M=290kN·m。试确定梁内纵筋数量。解：属于截面设计问题。()()0s6s2201csss0b2bb01c0bsys=465mm290100.451250465111.91120.0.518687=40mm460mm=10.5hhaMbhfaahMbhfAfhaξααξαξξξξα=−=×===×××=−−=′==−−′=′′−=按单筋截面计算，单筋不行，可改用双筋。设受拉钢筋排一层，取，双筋截面有，取，则由基本三个未知数计算公式得＞()()6222sb1c0ys290100.51810.50.518250460111.9319.9mm36046040/0.518111.9250460/360319.92289mmAfbhfAξα×−×−×××××=×−′=+=××××+=选用受拉钢筋428（As=2463mm2），受压钢筋312（）。2s603mmA′=（备注）目录【例3】：受弯构件正截面承载力设计问题：双筋，上、下限均满足。条件同例1。但弯矩设计值M=290kN·m，已有受压钢筋322（）。试确定梁内纵向受拉钢筋数量。解：属于截面设计问题。2s1140mmA′=()()ss0s6sy0ss221c0ss0bs=40mm=460mm290101140360460400.187111.92504601120.20862/0.1740.518aahhaMAfhafbhahAααξαξ′=−=′′′−−×−××−===×××′=−−====取，双筋截面有，则由基本计算公式得＞＜两个未知数21c0ys0.2086111.9250460/36011401933mmfbhfAξα′+=××××+=选用受拉钢筋425（As=1964mm2）。目录条件同例1。但弯矩设计值M=290kN·m，已有受压钢筋212（）。试确定梁内纵向受拉钢筋数量。解：属于截面设计问题。2s226mmA′=()()ss0s6sy0ss221c0sbs=40mm=460mm29010226360460400.4064111.92504601120.0.51856732aahhaMAfhafbhAαξααξ′=−=′′′−−×−××−===×××=−−=′=取，双筋截面有，则由基本计算公式得说明已有受压钢筋不足，应按未知（）重新计算受压、受拉钢筋数量两个未知数，计算结果＞三个未知同例数。【例4】：受弯构件正截面承载力设计问题：双筋，上限不满足。目录【例5】：受弯构件正截面承载力设计问题：双筋，下限不满足。条件同例1。但弯矩设计值M=290kN·m，已有受压钢筋422（）。试确定梁内纵向受拉钢筋数量。解：属于截面设计问题。2s1520mmA′=()()ss0s6sy0ss221c0ssyss0=40mm=460mm290101520360460400.096111.92504601120.101140.7aahhaMAfhafbhAfAahααξα′=−=′′′−−×−××−===×××=−−=′′=′=＜2取，双筋截面有，则由基本计算公式得说明受压钢筋过多，破坏时不能达(但不得减少)，对受压钢筋合力作用点取矩未知数可得两个/()()62y0s290101918mm36046040Mfha×==′−×−选用受拉钢筋425（As=1964mm2）。目录【例6】：正截面受弯单筋截面复核问题：上、下限均满足。条件同例1。纵向受拉钢筋420（As=1256mm2），求梁截面所能承受的弯矩设计值Mu=？若该梁为计算跨度l=6m的简支梁，求梁上所能承受的均布荷载设计值（包括自重）。解：属于单筋梁截面复核问题（两个未知量ξ、Mu）。()()s0stminy22ss,minminsyb01c2u01c2035mm=465mm2max0.45,0.2%0.2%1256mm250mm12563600.32690.518250465111.910.50.326910.50.3269250achhaffAAbhAfbhfMbhfρρξξαξξα=+=−=⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭===×====×××=−=×−××，＞＜262uu2246511.917610Nmm=176kNm818176,39.1kN/m86MMplpl××=×⋅⋅×====目录【例7】：正截面受弯单筋截面复核问题：上限不满足。条件同例1。纵向受拉钢筋428（As=2463mm2），求梁截面所能承受的弯矩设计值Mu=？若该梁为计算跨度l=7.2m的简支梁，求梁上所能承受的均布荷载设计值（不包括自重）。解：属于单筋梁截面复核问题（两个未知量ξ、Mu）。()s0s22tminss,minminysy01c2ubb01cb2839mm=461mm2max0.45,0.2%0.2%1256mm250mm2463360=0.6465,250461111.910.50.51810015..58achhafAAbhfAfbhfMbhfξρρξαξξα=+=−=⎧⎫⎪⎪=====⎨⎬⎪⎪⎩⎭×===×××=−=×−＞，，＞为超筋梁()262uu220.51825046111.9242.710Nmm=242.7kNm818242.7,=37.45kN/m()87.2=1.22537.451.2250.250.533.7kN/mMMplplppbh××××=×⋅⋅×===′−×=−×××=包括自重扣除自重得目录【例8】：正截面受弯双筋截面复核问题：上、下限均满足。矩形截面钢筋混凝土梁b×h=300mm×600mm，混凝土采用C30（fc=14.3N/mm2），HRB400级钢筋（），二类使用环境（c=35mm）。受压钢筋216（），受拉钢筋为422（As=1520mm2）。求梁截面受弯承载力Mu=？。解：属于截面复核问题（两个未知量ξ、Mu）。2yy360N/mmff′==2s402mmA′=()()ss0ssysy01cs0b2u01csy0s162243mm46mm=554mm221520360402360=300554114.30.16932/0.1550.51810.50.169310.50.16acachhaAfAfbhfahMbhfAfhaξαξξξα′=+==+=−=′′−×−×=×××′===′′′=−+−=×−×，，＞＜()()269330055414.34023605544327810Nmm=278kNm×××+××−=×⋅⋅目录【例9】：正截面受弯双筋截面复核问题：下限不满足。条件同例8，但受压钢筋316（），受拉钢筋为420（As=1256mm2）。求梁截面受弯承载力Mu=？解：属于截面复核问题（两个未知量ξ、Mu）。2s603mmA′=()ss0ssysy01csbusy0ss0162243mm46mm=554mm2212563606032360=300554114.30.09890.518/0.1556acachhaAfAfbhfAfMAfaahhξαξ′=+==+=−=′′−×−×=×××′′=′==′=−=y，，说明过多,破坏时不能达＜对受压钢筋合力作用点