第二章-点、直线、平面之间的位置关系---教学课件--·PPT-(·全)·

本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.12.1.1平面[学习要求]1．掌握平面的表示法，点、直线与平面的关系；2．掌握有关平面的三个公理；3．会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系．[学法指导]通过桌面、黑板、地面等有形的实物，对平面有一个感性认识，进而抽象出平面的概念及平面的性质，感受我们所处的世界是一个三维空间，进而增强学习的兴趣，培养空间想象能力.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.11．公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内．符号：.2．公理2：过不在一条直线上的三点，一个平面.3．公理3：如果两个不重合的平面有公共点，那么它们有且只有过该点的公共直线．符号：.填一填·知识要点、记下疑难点两点A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α有且只有一个一条P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.14．用符号语言表示下列语句：(1)点A在平面α内但在平面β外：.(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：.(3)直线l在面α内也在面β内：.(4)平面α内的两条直线m、n相交于A：.填一填·知识要点、记下疑难点A∈α，A∉βA∈α，B∉α且A∈l，B∈ll⊂α且l⊂βm⊂α，n⊂α且m∩n＝A本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.1[问题情境]在《西游记》中，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，如果把孙悟空看作是一个点，他的运动成为一条线，大家说如来佛的手掌像什么？研一研·问题探究、课堂更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.1探究点一平面的概念问题1观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？研一研·问题探究、课堂更高效答长方体由上下、前后、左右六个面围成．有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个平面内的直线等等．问题2生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？那么，平面的含义是什么呢？答教室的地面，天花板，几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.1问题3如何用字母表示平面，如何表示点在平面内或点不在平面内？研一研·问题探究、课堂更高效答平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写英文字母来表示，如平面ABCD，平面AC等．平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点A在平面α内，记作：A∈α；点B在平面α外，记作B∉α.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.1研一研·问题探究、课堂更高效探究点二平面的基本性质导引如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点，直线l是否在平面α内？问题1实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．从经验中我们能得到什么结论呢？答公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．问题2如何用符号语言表示公理1？公理1有怎样的用途？答A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α.公理1的用途是判定直线是否在平面内．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.1例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．(1)(2)研一研·问题探究、课堂更高效解在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.小结借助集合中的符号来表示几何中点、线、面的关系就是几何中的符号语言，符号语言的运用简洁明了的表达了几何中的各元素的关系，比文字语言更适合于几何关系的表示，因此，要逐步适应并掌握．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.1跟踪训练1若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为()A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α研一研·问题探究、课堂更高效解析点与直线的关系为元素与集合的关系，能用“∈”，直线与平面的关系为集合间的关系，不能用“∈”．B本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.1问题3生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚．上述事实和类似经验可以归纳为怎样的公理？研一研·问题探究、课堂更高效答公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．问题4如何用符号语言表示公理2？公理2有怎样的用途？答符号表示为：A、B、C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α.公理2的用途是确定平面的依据．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.1小结公理2中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形唯一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面．“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面”．按照公理2不在一条直线上的三点能确定一个平面，我们可以得出三个推论：推论(1)一条直线和直线外一点唯一确定一个平面；推论(2)两条相交直线唯一确定一个平面；推论(3)两条平行直线唯一确定一个平面．研一研·问题探究、课堂更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.1问题5把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？研一研·问题探究、课堂更高效答由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交成一条直线．小结公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.1问题6如何用符号语言表示公理3？公理3有怎样的用途？研一研·问题探究、课堂更高效答符号表示为：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l.公理3的作用是①判断两个平面相交；②判断点在直线上，即如果点P∈α，P∈β，且α∩β＝l，则点P∈l.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.1例2已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．研一研·问题探究、课堂更高效证明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．方法二∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.1小结证明多点共线的方法是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上．也可考虑为点P、R确定一条直线，Q也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法．研一研·问题探究、课堂更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.1跟踪训练2如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．研一研·问题探究、课堂更高效证明∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴AC⊂β，BD⊂β，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.1例3在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．研一研·问题探究、课堂更高效证明因为E，G分别为BC，AB的中点，所以GE∥AC.又因为DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，所以FH∥AC，从而FH∥GE.故E，F，H，G四点共面．所以四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两个平面的交线上．而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上．这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF，GH，BD交于一点．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.1小结证明若干条线共点，一般可先证其中两条相交于一点，再证其他线也过该点即可，本题在解答中注意应用两个相交平面的公共点必然在它们的交线上这一结论．研一研·问题探究、课堂更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.1跟踪训练3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线交于一点．研一研·问题探究、课堂更高效证明连接EF，D1C，A1B.∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF綊12A1B.又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，∴E，F，D1，C四点共面，且EF＝12D1C，∴D1F与CE相交于点P.又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD.∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据公理3，可得P∈DA，即CE、D1F、DA相交于一点.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.11．下列命题中正确的个数是()①一个平面长4米，宽2米；②2个平面重叠在一起比一个平面厚；③一个平面的面积是25平方米；④将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面．A．0B．1C．2D．3练一练·当堂检测、目标达成落实处A解析几何中的平面是无限延展的，不可进行所有类型的度量，容易判断所有命题都不对．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.12．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3B．4C．5D．6练一练·当堂检测、目标达成落实处解析如图，用列举法知符合要求的棱为：BC、CD、C1D1、BB1、AA1，故选C.C本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.13．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．练一练·当堂检测、目标达成落实处解析如图所示，三个平面α、β、γ两两相交，交线分别是a、b、c且a∥b∥c.观察图形，可得α、β、γ把空间分成7部分．7本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.1练一练·当堂检测、目标达成落实处1．三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据；公理2——判定点共面、线共面的依据；公理3——判定点共线、线共点的依据．2．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．3．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.1练一练·当堂检测、目标达成落实处4．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.12.1.1自学导引1．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系定义图形语言符号语言直线在平面内____________________直线与平面相交____________________直线与平面平行____________________有无数个公共点a⊂α有且只有一个公共点a∩α＝A没有公共点a∥α2.1.12．