4两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.3．有关公式的变形和逆用(1)公式T(α±β)的变形：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；②tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．(2)公式C2α的变形：①sin2α＝12(1－cos2α)；②cos2α＝12(1＋cos2α)．(3)公式的逆用：①1±sin2α＝(sinα±cosα)2；②sinα±cosα＝2sinα±π4.4．辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tanφ＝ba.21．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．()(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(4)公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B.32C．－12D.12D[sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D.]3．若tanθ＝－13，则cos2θ＝()A．－45B．－15C.15D.45D[∵cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ.又∵tanθ＝－13，∴cos2θ＝1－191＋19＝45.]4．(2017·云南二次统一检测)函数f(x)＝3sinx＋cosx的最小值为________．－2[函数f(x)＝2sinx＋π6的最小值是－2.]5．若锐角α，β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝________.3π3[由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，可得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，即tan(α＋β)＝3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.]三角函数式的化简(1)化简：sin2α－2cos2αsinα－π4＝________.【导学号：51062114】(2)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x.(1)22cosα[原式＝2sinαcosα－2cos2α22sinα－cosα＝22cosα.](2)原式＝－2sin2xcos2x＋122sinπ4－xcos2π4－xcosπ4－x＝121－sin22x2sinπ4－xcosπ4－x＝12cos22xsinπ2－2x＝12cos2x.[规律方法]1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．42．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练1](2017·浙江镇海中学测试卷一)已知tanα＋π4＝12，且－π2α0，则2sin2α＋sin2αcosα－π4＝()A．－255B．－3510C．－31010D.255A[2sin2α＋sin2αcosα－π4＝2sinαsinα＋cosα22sinα＋cosα＝22sinα，由tanα＋π4＝12，得tanα＝tanα＋π4－π4＝tanα＋π4－tanπ41＋tanα＋π4tanπ4＝－13，即3sinα＝－cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝±1010，而－π2α0，所以sinα＝－1010，故2sin2α＋sin2αcosα－π4＝－255.]三角函数式的求值☞角度1给角求值(1)2cos10°－sin20°sin70°＝()A.12B.32C.3D.2(2)sin50°(1＋3tan10°)＝________.(1)C(2)1[(1)原式＝2cos30°－20°－sin20°sin70°＝2cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°－sin20°sin70°5＝3cos20°cos20°＝3.(2)sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°1＋3·sin10°cos10°＝sin50°×cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°×212cos10°＋32sin10°cos10°＝2sin50°·cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.]☞角度2给值求值(1)若cosπ4－α＝35，则sin2α＝()A.725B.15C．－15D．－725(2)(2017·浙江金华十校联考)已知α为锐角，且7sinα＝2cos2α，则sinα＋π3＝()A.1＋358B.1＋538C.1－358D.1－538(1)D(2)A[(1)∵cosπ4－α＝35，∴sin2α＝cosπ2－2α＝cos2π4－α＝2cos2π4－α－1＝2×925－1＝－725.(2)由7sinα＝2cos2α得7sinα＝2(1－2sin2α)，即4sin2α＋7sinα－2＝0，∴sinα＝－2(舍去)或sinα＝14.∵α为锐角，∴cosα＝154，∴sinα＋π3＝14×12＋154×32＝1＋358，故选A.]☞角度3给值求角6已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6C[∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sinα＝55，∴cosα＝255，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55×31010－255×－1010＝22.∴β＝π4.][规律方法]1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.三角变换的简单应用已知函数f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值．[解](1)由已知，有7f(x)＝1－cos2x2－1－cos2x－π32＝1212cos2x＋32sin2x－12cos2x＝34sin2x－14cos2x＝12sin2x－π6.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.6分(2)因为f(x)在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是增函数，且f－π3＝－14，f－π6＝－12，fπ4＝34，所以f(x)在区间－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.14分[规律方法]1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练2](1)(2016·山东高考)函数f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)的最小正周期是()A.π2B．πC.3π2D．2π(2)(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值为________.【导学号：51062115】(1)B(2)1[(1)法一：∵f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)＝432sinx＋12cosx32cosx－12sinx＝4sinx＋π6cosx＋π6＝2sin2x＋π3，8∴T＝2π2＝π.法二：∵f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)＝3sinxcosx＋3cos2x－3sin2x－sinxcosx＝sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋π3，∴T＝2π2＝π.故选B.(2)f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx＝sinxcosφ＋cosxsinφ－2sinφcosx＝sinxcosφ－cosxsinφ＝sin(x－φ)．∴f(x)max＝1.][思想与方法]三角恒等变换的三种变换角度(1)变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．常用的拆角、拼角方法是：92α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β.(2)变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”，“升幂与降幂”“1”的代换等．(3)变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等．[易错与防范]1．三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若已知正切函数值，则选正切函数；否则，若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．2．计算形如y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆．课时分层训练(十九)两角和与差的正弦、余弦和正切公式A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知sin2α＝23，则cos2α＋π4等于()A.16B.13C.12D.23A[因为cos2α＋π4＝1＋cos2α＋π42＝1＋cos2α＋π22＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A.]2.cos85°＋sin25°cos30°cos25°等于()10A．－32B.22C.12D．1C[原式＝sin5°＋32sin25°cos25°＝sin30°－25°＋32sin25°cos25°＝12cos25°cos25°＝12.]3．(2017·杭州二次质检)函数f(x)＝3sinx2cosx2＋4cos2x2(x∈R)的最大值等于()A．5B.92C.52D．2B[由题意知f(x)＝32sinx＋4×1＋cosx2＝32sinx＋2cosx＋2≤94＋4＋2＝92，故选B.]4．(2017·浙江模拟训练卷(三))若θ∈π4，π2，sin2θ＝378，则sinθ＝()【导学号：51062116】A.35B.45C