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ABCDABABLABCD图(2)EBDACP图(3)DBAOCP中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括:蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题;线段(之和)最短问题;二、原理:两点之间,线段最短;垂线段最短。(构建“对称模型”实现转化)三、例题:例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块,一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处,则它爬行的最短路径是。②如右图是一个长方体木块,已知AB=3,BC=4,CD=2,假设一只蚂蚁在点A处,它要沿着木块侧面爬到点D处,则蚂蚁爬行的最短路径是。例2、①如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水,水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。②如图,直线L同侧有两点A、B,已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3,两点的水平距离为3,要在直线L上找一个点P,使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置,并计算PA+PB的最小值。③要在河边修建一个水泵站,向张村、李庄铺设管道送水,若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km,张村与李庄的水平距离为3Km,则所用水管最短长度为。四、练习题(巩固提高)(一)1、如图是一个长方体木块,已知AB=5,BC=3,CD=4,假设一只蚂蚁在点A处,它要沿着木块侧面爬到点D处,则蚂蚁爬行的最短路径是。2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带(金丝带的宽度忽略不计),圆柱体高为6cm,底面圆周长为16cm,则所缠金丝带长度的最小值为。3、如图是一个圆柱体木块,一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物,知圆柱体的高为5cm,底面圆的周长为24cm,则蚂蚁爬行的最短路径为。4、正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,DN+MN的最小值为。第4题第5题第6题第7题5、在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,点E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值为。6、如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值为_______。7、AB是⊙O的直径,AB=2,OC是⊙O的半径,OC⊥AB,点D在AC上,AD=2CD,点P是半径OC上的一个动点,则AP+PD的最小值为_______。(二)8、如图,点P关于OA、OB的对称点分别为C、D,连接CD,交OA于M,交OB于N,若CD=18cm,则△PMN的周长为________。9、已知,如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线,D为垂足,DE交BC于E,且AC=5,BC=8,则△AEC的周长为__________。10、已知,如图,在△ABC中,AB<AC,BC边上的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,AC=8,△ABE的周长为14,则AB的长。第2题张村李庄张村李庄AABAB第1题第3题⌒⌒⌒11、如图,在锐角△ABC中,AB=42,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是____.12、在平面直角坐标系中,有A(3,-2),B(4,2)两点,现另取一点C(1,n),当n=时,AC+BC的值最小.CDABEFP第11题第14题第15题13、△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,BC=8,过AB边上一点P作PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,E、F是垂足,则EF的最小值等于.14、如图,菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,点E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点,则PE+PF的最小值为___________.15、如图,村庄A、B位于一条小河的两侧,若河岸a、b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近?16、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).(1)求该函数的解析式;(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点坐标.(三)16、如图,已知∠AOB内有一点P,试分别在边OA和OB上各找一点E、F,使得△PEF的周长最小。试画出图形,并说明理由。17、如图,直线l是第一、三象限的角平分线.实验与探究:(1)由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5)关于直线l的对称点B′、C′的位置,并写出他们的坐标:B′、C′;归纳与发现:(2)结合以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为;运用与拓广:(3)已知两点D(1,-3)、E(-1,-4),试在直线l上确定一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小,并求出Q点坐标.18、几何模型:条件:如图,A、B是直线L同旁的两个定点.问题:在直线L上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法:作点A关于直线l的对称点A,连结AB交l于点P,则PAPBAB的值最小(不必证明).模型应用:(1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.连结BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称.连结ED交AC于P,则PBPE的最小值是___________;(2)如图2,O⊙的半径为2,点ABC、、在O⊙上,OAOB,60AOC°,P是OB上一动点,求PAPC的最小值;(3)如图3,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值.19、问题探究(1)如图①,四边形ABCD是正方形,10ABcm,E为边BC的中点,P为BD上的一个动点,求PCPE的最小值;(2)如图②,若四边形ABCD是菱形,10ABcm,45ABC°,E为边BC上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PCPE的最小值;问题解决(3)如图③,若四边形ABCD是矩形,10ABcm,20BCcm,E为边BC上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PCPE的最小值;OABPRQ图3ABECBD图1OABC图2PABA′PlADBCADBCEPACDB20.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结0A,将线段OA绕原点O顺时针旋转120。,得到线段OB.(1)求点B的坐标;(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.(注意:本题中的结果均保留根号)解:(1)过点B作BD⊥x轴于点D,由已知可得:OB=OA=2,∠BOD=60。.在Rt△OBD中,∠ODB=90。,∠OBD=30。.∴OD=1,DB=3∴点B的坐标是(1,3).(2)设所求抛物线的解析式为2yaxbxc,由已知可得:03420cabcabc解得:323,,0.33abc∴所求抛物线解析式为2323.33yxx(3)存在.由232333yxx配方后得:233133yx∴抛物线的对称轴为x=-1.(也写用顶点坐标公式求出)∵OB=2,要使△BOC的周长最小,必须BC+CO最小.∵点O与点A关于直线x=-1对称,有CO=CA.△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.∴当A、C、B三点共线,即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时,BC+CA最小,此时△BOC的周长最小.设直线AB的解析式为3,:20kbykxbkb则有解得:323,.33kb∴直线AB的解析式为323.33yx当x=-1时,3.3y∴所求点C的坐标为(-1,33).21、如图,抛物线2yaxbxc的顶点P的坐标为4313,,交x轴于A、B两点,交y轴于点(03)C,.(1)求抛物线的表达式.(2)把△ABC绕AB的中点E旋转180°,得到四边形ADBC.判断四边形ADBC的形状,并说明理由.(3)试问在线段AC上是否存在一点F,使得△FBD的周长最小,若存在,请写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意知解得33a,233b-------------3分(列出方程组给1分,解出给2分)∴抛物线的解析式为2323333yxx-----------4分(2)设点A(1x,0),B(2x,0),则23233033xx,解得1213xx,-------------5分DOxyBEPAC∴∣OA∣=1,∣OB∣=3.又∵tan∠OCB=||3||OBOC∴∠OCB=60°,同理可求∠OCA=30°.∴∠ACB=90°----------6分由旋转性质可知AC=BD,BC=AD∴四边形ADBC是平行四边形----------------------------7分又∵∠ACB=90°.∴四边形ADBC是矩形--------------------------8分(3)延长BC至N,使CNCB.假设存在一点F,使△FBD的周长最小.即FDFBDB最小.∵DB固定长.∴只要FD+FB最小.又∵CA⊥BN∴FD+FB=FD+FN.∴当N、F、D在一条直线上时,FD+FB最小.---------------------10分又∵C为BN的中点,∴12FCAC(即F为AC的中点).又∵A(-1,0),C(0,-3)∴点F的坐标为F(12,32)∴存在这样的点F(12,32),使得△FBD的周长最小.---12分22.已知:直线112yx与y轴交于A,与x轴交于D,抛物线212yxbxc与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).(1)求抛物线的解析式;(2)动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形且以P为直角顶点时,求点P的坐标.(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使||AMMC的值最大,求出点M的坐标.答案:(1)将A(0,1)、B(1,0)坐标代入212yxbxc得1102cbc解得321bc∴抛物线的解折式为213122yxx.3分(2)设点E的横坐标为m,则它的纵坐标为213122mm,则E(m,213122mm).又∵点E在直线112yx上,∴213111222mmm.解得10m(舍去),24m.∴E的坐标为(4,3).4分过E作EFx⊥轴于F,设P(b,0).由90OPAFPE°,得OPAFEP.RtRtAOPPFE△∽△.由AOOPPFEF得143bb.解得11b,23b.∴此时的点P的坐标为(1,0)或(3,0).6分(3)抛物线的对称轴为32x.∵B、C关于x23对称,∴MCMB.要使||AMMC最大,即是使||AMMB最大.8分由三角形两边之差小于第三边得,当A、B、M在同一直线上时||AMMB的值最大.易知直线AB的解折式为1yx.∴由132yxx得3212xy∴M(23,-21).10分yxODEABCyEABCF
本文标题:中考专题复习——最短路径问题
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