全国大联考2020届1月联考理科数学试卷

理科数学试卷·第1页（共8页）20·LK·YG1秘密★考试结束前[考试时间：2020年1月2日15:00~17:00]全国大联考2020届1月联考理科数学试卷（A）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，需用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。3．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。4．考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足(1)1zii+=−（i是虚数单位），则z的共轭复数z=A．i−B．2i−C．iD．2i2.已知全集UR=，设函数lg(1)yx=−的定义域为集合A，函数2210yxx=++的值域为集合B，则A∩(CUB)=A．[1,3]B．[1,3)C．(1,3]D．(1,3)3.已知等比数列{}na为递增数列，且2510aa=，212()5nnnaaa+++=，则5a=A．16B．32C．49D．814.点(4,2)P−与圆224xy+=上任一点连线的中点轨迹方程是A．22(2)(1)1xy−++=B．22(2)(1)4xy−++=C．22(4)(2)4xy++−=D．22(2)(1)1xy++−=5.一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有A．24种B．36种C．48种D．72种此试卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号理科数学试卷·第2页（共8页）20·LK·YG16.若直线2yx=上存在点(,)xy满足约束条件30230xyxyxm+−−−，则实数m的最大值为A．2B．32C．1D．1−7.如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点.该青蛙从5这点跳起，经2018次跳后它将停在的点是A．1B．2C．3D．48.如程序框图所示，其作用是输入x的值，输出相应的y的值.若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则这样的x的值有A．1个B．2个C．3个D．4个9.半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是A．22RB．252RC．23RD．272R10.若从数字0，1，2，3，4，5中任取三个不同的数作为二次函数2yaxbxc=++的系数，则与x轴有公共点的二次函数的概率是理科数学试卷·第3页（共8页）20·LK·YG1A．15B．12C．1350D．175011.过双曲线22221(0,0)xyabab−=的左焦点(,0)(0)Fcc−，作圆2224axy+=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若OE⃗⃗⃗⃗⃗=12(OF⃗⃗⃗⃗⃗+OP⃗⃗⃗⃗⃗)，则双曲线的离心率为A．10B．105C．102D．212.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为()((0)0)StS=，则导函数'()ySt=的图象大致为A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在ABC中，M是线段BC的中点，3AM=，10BC=，则AB⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗=．14.若231()nxx+展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是．15.若数列{}na是正项数列，且12naaa+++2*3()nnnN=+，则12231naaan+++=+．16.对于实数a和b，定义运算“*”：22,,aabababbabab−=−.设()(21)(1)fxxx=−−，且关于x的方程()()fxmmR=恰有三个互不相等的实数根1x，2x，3x，则123xxx的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.理科数学试卷·第4页（共8页）20·LK·YG1（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的频率；（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望()EX及方差()DX.18.（12分）在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且32sinacA=.（1）确定角C的大小；（2）若7c=，且ABC的面积为332，求ab+的值.此试卷只装订不密封————————————————————————————————————————————————————————理科数学试卷·第5页（共8页）20·LK·YG119.（12分）三棱锥ABCD−及其侧视图、俯视图如图所示.设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MNNP⊥.（1）证明：P为线段BC的中点；（2）求二面角ANPM−−的余弦值.此试卷只装订不密封————————————————————————————————————————————————————————理科数学试卷·第6页（共8页）20·LK·YG120.（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为1(,0)Fc−，2(,0)Fc，已知点(1,)e和3(,)2e都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线1AF与直线2BF平行，2AF与1BF交于点P，（i）若1262AFBF−=，求直线1AF的斜率；（ii）求证：12PFPF+是定值.理科数学试卷·第7页（共8页）20·LK·YG121.（12分）已知函数1()ln1()afxxaxaRx−=−+−.（1）当12a时，讨论()fx的单调性；（2）设2()24gxxbx=−+.当14a=时，若对任意1(0,2)x，存在2[1,2]x，使12()()fxgx，求实数b的取值范围.理科数学试卷·第8页（共8页）20·LK·YG1选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xoy中，曲线1C的参数方程为cossinxayb==（0ab，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线1C上的点3(1,)2M对应的参数3=，射线3=与曲线2C交于点(1,)3D.（1）求曲线1C，2C的方程；（2）若点1(,)A，2(,)2B+在曲线1C上，求221211+的值.23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()2fxxaa=−+.（1）若不等式()6fx的解集为|23xx−，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使()()fnmfn−−成立，求实数m的取值范围.此试卷只装订不密封————————————————————————————————————————————————————————理科数学（A）参考答案·第1页（共8页）20·LK·YG1秘密★考试结束前[考试时间：2020年1月2日15:00~17:00]全国大联考2020届1月联考理科数学（A）参考答案一、选择题（每题5分，满分60分）题号123456答案CDBABC题号789101112答案BCADCA二、填空题（每题5分，满分20分）13.16−14.1015.226nn+16.13(,0)16−三、解答题（满分70分）17.（本题满分12分）（1）记1A表示事件“日销量量不低于100个”，2A表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个”（1分）因此结合日销售量的频率分布直方图得1()(0.0060.0040.002)pA=++500.6=；（2分）2()0.003500.15pA==；()0.60.60.1520.108pB==.（2分）（2）X的可能取值为0，1，2，3，（1分）相应的概率为0303()(10.6)0.064pXC=−=，1213()0.6(10.6)0.288pXC=−=，22123()0.6(10.6)0.432pXC=−=，3333()0.60.216pXC==.（3分，每算错一个扣一分，最低0分）所以X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为𝑋∼𝐵(3,0.6)，所以随机变量X的期望()30.61.8EX==，（2分，其中分布列1分，数学期望1分）方差()30.6(10.6)0.72DX=−=.（1分）18.（本题满分12分）理科数学（A）参考答案·第2页（共8页）20·LK·YG1解：（1）由32sinacA=及正弦定理得，2sinsinsin3aAAcC==.（2分）∵sin0A（1分），∴3sin2C=，（1分）∵ABC是锐角三角形（1分），∴3C=.（1分）（2）解法1：∵7c=，3C=.由面积公式得133sin232ab=，即6ab=.①（1分）由余弦定理得222cos73abab+−=，即227abab+−=.②（2分）由②变形得2()37abab+=+.③（1分）将①代入③得2()25ab+=，故5ab+=.（2分）解法2：前同解法1，联立①、②得2276ababab+−==22136abab+==.（2分）消去b并整理得4213360aa−+=（2分）解得24a=或29a=.所以23ab==或32ab==.（1分）故5ab+=.（1分）19.（本题满分12分）【解析】（1）（6分）如图，取BD中点O，连接AO，CO.由侧视图及俯视图知，ABD，BCD为正三角形，因此AOBD⊥，OCBD⊥.因为,AOOC⊥平面AOC，且AOOCO=I，所以BD⊥平面AOC.又因为AC平面AOC，所以BDAC⊥.取BO的中点H，连接NH，PH又M，N分别为线段AD，AB的中点，所以//NHAO，//MNBD.因为AOBD⊥，所以NHBD⊥.因为MNNP⊥，所以NPBD⊥.因为,NHNP平面NHP，且NHNPN=I，所以BD⊥平面NHP.又因为HP平面NHP，所以BDHP⊥.又OCBD⊥，HP平面BCD，OC平面BCD，所以//HPOC.理科数学（A）参考答案·第3页（共8页）20·LK·YG1因为H为BO中点，故P为BC中点.（2）（6分）解法一：如图，作NQAC⊥于Q，连接MQ.由（1）知，//NPAC，所以NQNP⊥.因为MNNP⊥，所以MNQ为二面角ANPM−−的一个平面角.由（1）知，ABD，BCD为边长为2的正三角形，所以3AOOC==.由俯视图可知，AO⊥平面BCD.因为OC平面BCD，所以AOOC⊥，因此在等腰RtAOC中，6AC=，作BRAC⊥于R.在ABC中，ABBC=，所以22()2ACBRAB=−102=.因为在平面ABC内，NQAC⊥，BRAC⊥，所以//NQBR.又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点，因此1024BRNQ==.同理，可得104MQ=.所以在等腰MNQ中，2cosMNMNQNQ=1045BDNQ==.故二面角ANPM−−的余弦值是105.解法二：由俯视图及（1）可知，AO⊥平面BCD.因为,OCOB平面BCD，所以AOOC⊥，AOOB⊥.又OCO