无穷级数习题及答案

1第十一章无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1．112nnn；2．12221nnn；3．15131nnn。判断下列正项级数的敛散性4．1100!nnn；5．1nneen；6．121nnn；7．1332nnnn；8．14!nnn；9．nnnn113；10．121nnnn。求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛11．11121nnnn；12．2ln11nnn；13．0001.1001.101.11.1；14．14413312221222；求下列幂级数的收敛半径和收敛区间15．13nnnxn；16．11nnnnnx；17．1!nnxn；18．1121nnnxn；19．112121nnnx；20．123nnnxn；求下列级数的和函数21．11nnnx；22．121121nnnx；将下列函数展开成0xx的幂的级数23．2xxeeshx，00x；24．x2cos，00x；25．xx1ln1，00x；26．x1，30x；将下列函数在区间,上展开为付里叶级数27．2cosxxA，x。28．txf2，x229．将函数30,03,2txtxxxf展开成付里叶级数。30．将函数lxlxllxxxf2,20,分别展开成正弦级数和余弦级数。(B)用定义判断下列级数的敛散性1．043131nnn；2．1211nnnn；3．1222nnnn；判断下列正项级数的敛散性4．1n!2nnnn；5．132132nnnn；6．112nnnnnan，(0a)；7．1nnnab，其中aan(n)，na，b，a均为正数；8．1111nn，(0a)；9．110421nnxxx；判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛10．11!212nnnn；11．121111nnnnn；12．11232312ln1nnnnn；求下列幂级数的收敛半径和收敛域13．12!21nnnnx；14．1nnnnbax，(0a,0b)；15．11254211nnnnnx；16．1123nnnnxn；求下列级数的和函数17．12nnnx；18．nnxnn21!12；19．12nnxn；20．求证：1212lnnnn；3将下列函数展开成0xx的幂的级数21．13212xxxf，00x；22．21xxf，10x；23．21xx，00x；24．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数kxxf221，12,12kkx，,2,1,0k的付里叶级数，并讨论收敛情况。26．设xf是周期为2的周期函数，它在,上的表达式为xxxxxf2,222,2,2，将xf展开成付里叶级数。27．将函数2xxf，(lx0)分别展开成正弦级数和余弦级数。(C)1．用定义判断下列级数的敛散性13212121nnnn2．设0ia，,2,1i，判断级数nnaaaaaaaaa1111112121211的敛散性。判断下列正项级数的敛散性3．1!3nnnnn；4．1212lnnnnn；5．11112nnn；6．判断级数12sin1nnn的敛散性。求下列幂级数的收敛半径和收敛区间7．1221nnnxnn；8．1n12111nnxn；4求下列级数的和9．11121nnnn10．展开xedxdx1为x幂级数，并推出11!1nnn。11．求级数11322nnnxn的收敛区间及和函数。12．设函数xxxxf2,020,2，试分别将xf展成为以2为周期的区弦级数和余弦级数。13．将周期函数,0,10,,1xf，展为付氏级数，并据此求周期函数,0,0,,1baxf，||2xxf，,的付氏级数，求下面级数222121413114n。第十一章无穷级数(A)1．解：∵nknnkkS12212，(n),∴原级数发散。2．解：∵nknknnkkkkS1141221212122121212221，(n)，∴原级数收敛且和为41。3．解：∵4121511511513113113151315131111nnnkknknkkkknS43，(n)，∴原级数收敛且和为43。54．解：∵1001lim!100100!1limlim11nnnUUnnnnnnn，∴由比值判别法知原级数发散。5．解：∵1111lim1limlim11enneneenUUenennennnn，∴由比值判别法知，原级数收敛。6．解：∵02121limlimnnUnnn，∴原级数发散。7．解：∵2332lim1limnnnnnUnnn，而11nn发散，∴由比较判别法知原级数发散。8．解：∵0111lim!!11limlim4441nnnnnnnUUnnnnn，∴由比值判别法知，原级数收敛。9．解：∵13113lim13limlimnnnnUnnnnnnn，∴由比值判别法知，原级数收敛。10．解：∵2121nnnnnUn，而2121lim21limnnnnnn，故121limnnnU，∴由比值判别法知，原级数收敛。11．解：1112||nnnnnU，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故原级数绝对收敛。12．解：nnUn1ln1||，而21nn发散，故2ln1nn发散。因此原级数非绝对收敛，又，显然nnln11ln1，,3,2n，且0ln1limnn，故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛。13．解：∵0|00|lim||limnnnU，∴原级数发散。614．解：此为交错级数，∵111||2nnnnUn，(n)而级数11nn发散，故1||nnU发散，即原级数非绝对收敛，显然12nn单调递减且趋向于零，故原级数条件收敛。15．解：∵313lim313limlim11nnnnaannnnnnn，∴31R，当31x时，级数为11nn发散，当31x时，级数为111nnn收敛。故原级数的收敛区间为31,31。16．解：∵011111111nnnnnnnnnaa，n，∴R，收敛区间为,。17．解：∵0111111nnnnnaa，n，∴0R。18．解：∵21122limlim11nnaannnnnn，∴2R。故当2|1|x，即31x时收敛，当1x或3x时发散，当1x时，级数为111nnn，收敛；当3x时，级数为11nn，发散。故收敛区间为3,1。19．解：∵222222121321xxxxUUnnnnnn，n，当122x时，即22x时收敛，当122x，即2x或2x时发散，∴2R。当2x时原级数为122n，发散，故收敛区间为2,2。720．解：∵3113133122121nnnnaannnn，n，∴3R，当3x时，原级数121nnn，发散。故收敛区间为3,3。21．解：设11nnnxxf，1||x，110101101nnnxnxnnxxxxdxnxdxnxdxxf∴2111xxxxf，1||x。22．解：设112121nnxnxf，1||x，则22112121121121121xxxxnxnxfnnnnnnxxdxxxdxxf00221，即dxxxfxfx011111210，∴xxxxxxfxf11ln21111ln210，1||x。23．解：0200!2121!1!1212kknnnnxxxkxnxnee，x。24．解：0222!2111212cos121cosnnnxnxx02!2212121nnnnxn，x。25．解：11111ln1nnnnxxxx，1||x1111111111111nnnnnnnnnxnnnnxnx。826．解：0103311331313311313311nnnnnnnxxxxx133x，即60x27．解：∵2cosxxf为偶函数，∴0nb，,2,1n0cos2cos2cos2cos1nxdxxnxdxxandxxnxn021cos21cos1xxnnxnn021sin21121sin21111211212112cos12cos21nnnnxnnxn1414121nn，,2,1,0n令0n，得40a，且2cosxxf在,上连续∴12114cos1422cosnnnnxx，x。28．解：由于xxf2是奇函数，故0na，,2,1,0nxnnxxnntdttbnsin1cos12sin21nn41∴nxnxfnnsin141。29．解：3303303cos313cos2313cos31xdxnxxdxnxxdxnxfan302203223sin33cos33sin33cos6xnxnxnnxnxnxn