点集拓扑学内部边界

2020/5/4漳州师范学院12.5内部、边界定义2.5.1若A是x的邻域,则称x是A的内点.A的所有内点的集合称为A的内部,记为A.定理2.5.1对AX,A=A,A=A.证xA,由于A∩A=,于是xA,从而xA.反之,xA,xA,x的邻域V∩A=,VA,xA.因此,A=A.从而A=A=A,A=A.定理2.5.3对A,BX,有(1)X=X;(2)AA;(3)(A∩B)=A∩B;(4)A=A.证(1)、(2)是显然的.对于(3),(A∩B)=(A∪B)=A∩B=A∩B.对于(4),A=A=A=A.2020/5/4漳州师范学院22.5内部、边界(2)关于内部的几个相关结果:(1)A是x的邻域xA.(2)A是开集.(定理2.5.4)(3)A是开集A=A.(定理2.5.2)(4)A是A所包含的所有开集之并,是含于A内的最大开集.(定理2.5.5)证(2)A=A是开集.(3)A开A闭A=AA=A=A.(4)设O是含于A内的所有开集之并,AOA,OA,所以O=A.2020/5/4漳州师范学院32.5内部、边界(3)定义2.5.2x称为A的边界点,若x的每一邻域,既含有A中的点又有A中的点.A的边界点之集称为边界,记为A.定理2.5.6对AX,有(1)A=A∩A=(A);(2)A=A∪A;(3)A=A-A.证(2)A∪A=A∪(A∩A)=(A∪A)∩(A∪A)=A∩(A∪A)=A.(3)A-A=A-(A∩A)=A-A=A∩A=A.•