有限差分法

1.二维泊松方程的差分格式有限差分法（FiniteDifferentialMethod）是基于差分原理的一种数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上的差分方程组的问题。通常将场域分成足够小的正方形网格，网格线之间的距离为h，节点0,1,2,3,4上的电位分别用和表示。3210,,,4处的泰勒公式展开为方向在则沿处可微在设函数00xxx,)3())((0)(!000)(nnKKKxxxxxK)2()()1(2222sfFyxL二维静电场边值问题：§3.7有限差分法0333022200303330222001xh31xh21xhxh31xh21xh)(!)(!)()(!)(!)(h2x31xx0)(（8）（4）将和分别代入式(3),得1xx3x2301yy22h2y0)(同理（5）由（4）–（5）由（4）+（5）2301xx22h2x0)(（6）（7）（9）h2y31yy0)(将式（7）、（9）代入式（1），得到泊松方程的五点差分格式2043214Fh)(41243210Fh当场域中，得到拉普拉斯方程的五点差分格式00404321)(41432102.边界条件的离散化处理⑶第二类边界条件边界线与网格线相重合的差分格式：hffhn2102010,)(⑵对称边界条件)(Fh24124210若场域离散为矩形网格，F2h1h1h1h10222142222121)()()(差分格式为：⑴第一类边界条件给边界离散节点直接赋已知电位值。⑷介质分界面衔接条件的差分格式合理减小计算场域，差分格式为,)(43210K1K2K1241baK其中12边界条件的离散化处理3.差分方程组的求解方法⑴高斯——赛德尔迭代法][)(,)(,)(,)(,)(,2k1jikj1i1k1ji1kj1i1kjiFh41式中：,,,,,,210k21ji，迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节点电位满足为止。)(,)(,kji1kji⑵超松弛迭代法][)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,kji2k1jikj1i1k1ji1kj1ikji1kji4Fh4式中：——加速收敛因子)(21高斯—赛德尔迭代法迭代收敛的速度与有明显关系：收敛因子（）1.01.71.81.831.851.871.92.0迭代次数（N）1000269174143122133171发散最佳收敛因子的经验公式：)sin(p120（正方形场域、正方形网格）220q1p122（矩形场域、正方形网格）迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关；迭代收敛的速度与工程精度要求有。)(,)(,Nji1Nji启动赋边界节点已知电位值赋予场域内各节点电位初始值累计迭代次数N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求所有内点相邻二次迭代值的最大误差是否小于打印停机)(,1Nji),(jiN，NY借助计算机进行计算时，其程序框图如下：