高等数学-上、下册5-4-定积分的应用举例

第四节定积分的应用举例在本章第一节，我们从实际问题引进定积分的概念.在几何、物理、经济学等各个领域，有许多问题都可用定积分予以解决，本节首先阐明定积分的元素法，再举例说明定积分的具体应用.由第一节的实例（曲边梯形面积和变力做功）分析可见，用定积分表达某个量Q分为四个步骤：一、定积分的元素法第一步，分割.把所求的量Q分割成若干个部分量Qi，这需选择一个被分割的变量x和被分割的区间,ab.例如，对曲边梯形面积A，选择曲边2yx中的自变量x作为被分割的变量，被分割的区间是0,1.对变力所做的功W，选择质点位置作为被分割变量，被分割区间是质点的位移区间.第二步，近似.考察任一小区间,1iixx上Q的部分量iQ的近似值.对曲边梯形面积A，在小区间1,iixx上，用直线()iyf代替曲线()yfx，即以小矩形面积()iifx代替小曲边梯形面积iA，得()iiiAfx.对变力做功W，在小位移区间1,iixx上，用常力()if代替变力()fx，得W的部分量()iiiWfx.类似地，部分量iQ的近似值也应表成()iifx的形式.第三步，求和.()iiiiiQQfx第四步，逼近.取极限得0lim()()dbiiaiQfxfxx.在实际应用中，通常把上述四个步骤简化成如下三步:第一步，选变量.选取某个变量x作为被分割的变量，这就是积分变量，并确定x的变化范围,ab，它就是被分割的区间，也就是积分区间.第二步，求微元.假设把区间,ab分成n个小区间，其中任意一个小区间用,dxxx表示，小区间的长度dxx，所求的量Q对应于小区间,dxxx的部分量记作.Q取x，求出部分量Q的近似值()dQfxx.近似值()dfxx称为量Q的微元（或元素），记作dQ，即d()dQfxx.这里我们指出（但不作证明），dQ作为Q的近似值,其误差dQQ应是小区间长度x的高阶无穷小,即d()d()Qfxxfxx应满足d()()()QQxfxxx.第三步,列积分.以量Q的微元d()dQfxx为被积表达式，在,ab上积分，便得所求量Q，即()dbaQfxx.上述把某个量表达为定积分的简化方法称为定积分的元素法.下面我们将应用这一方法来讨论一些问题.图5-8xyO2yx2yxxx+dx二、平面图形的面积例1求由抛物线2yx与直线2yx围成的图形的面积.解画出图形如图5-7,联立两曲线方程:2,2.yxyx解出它们的交点O(0,0),A(2,4).选择积分变量为横坐标x，积分区间为0,2，对应于小区间,dxxx的窄条面积的近似值，即面积微元2d(2)dAxxx，即阴影部分小矩形的面积，于是2yx与2yx所围图形面积为222230014(2)d33Axxxxx用换元法计算这个积分,设sin,xatarcsin,dcosd,xtxatta当0x时,0t,当xa时,π2t.例2求椭圆周22221xyab围成图形的面积.yO图5-9yabx+dxx-a解由对称性知,所求面积是第一象限部分的面积的4倍.选积分变量为x,积分区间为0,a,对应于0,a中任一小区间,dxxx(图5-9)的窄条面积近似为22dddbAyxaxxa,于是椭圆面积为2204dabAaxxa.于是π222220041π4dcosd4π22abbAaxxattababaa.例3求由抛物线22yx及直线4yx所围成的平面图形的面积.解由联立方程224yxyx解得两曲线的交点为(2,-2)和(8,4).如图5-10,选择y为积分变量,积分区间为2,4,考察任一小区间,dyyy上一个窄条的面积,用宽为2(4)2yy,高为dy的小矩形面积近似,即得面积微元为2d4d2yAyy,于是所围区域面积为:4242322114d418226yAyyyyy.O(8,4)-2yy+dy4A1A2(2,-2)y2=2xy=x-4xy图5-10Oxbay=f(x)y=g(x)图5-11一般地,若平面图形是由曲线(),()yfxygx和直线,xaxb围成,()()fxgx,如图5-11,则其面积可对x积分得到()()dbaAfxgxx.若平面图形是由曲线,xyxy和直线,ycyd围成,且yy,则其面积可对y积分得到ddcAyyy.事实上,例3也可以选择x为积分变量,积分区间为0,8,但是,当小区间,dxxx取在0,2中时,面积微元为d22dAxxx,而当小区间取在2,8中时,面积微元为d2(4)dAxxx,因此,积分区间须分成0,2和2,8两部分,即所给图形由直线2x分成两部分,分别计算两部分的面积再相加,得所求面积,即2802283/23/22022(2)d2(4)d2212224332163818.33Axxxxxxxxxx用垂直于x轴的平面截旋转体,所得截面都是圆,其面积为π半径2.现在我们用垂直于x轴的平行平面,把旋转体分割成n个小旋转体,即选择x为积分变量,积分区间为,ab.Oxabxy=f(x)图5-12比较两种算法可见,取y作为积分变量要简便得多.因此,对具体问题应选择积分简便的计算方法.三、体积1.旋转体体积由连续曲线()yfx与直线,xaxb及x轴围成的曲边梯形,绕x轴旋转一周而成的旋转体,如图5-12所示.现在讨论它的体积V的计算法.考虑小区间,dxxx上小旋转体的体积V,用以半径为()fx的圆为底,高为dx的圆柱体体积2π()dfxx作为近似,即得体积微元为2dπ()dVfxx,于是,旋转体的体积为2π()dbaVfxx.例4设平面图形由曲线2yx与直线1x及0y围成,试求:(1)绕x轴旋转而成的旋转体体积;(2)绕y轴旋转而成的旋转体体积.解(1)图形是曲边梯形（图5-13）.体积公式中的积分区间为[0,1],所以绕x轴旋转而成的旋转体体积为,2)(xxf11200(2)4xVxdxxdx12042.2x图5-13yx1O2yx2y不是曲边梯形，从而不能直接用公式.由于图形旋转而成(2)计算体积时应该用绕y轴旋转的公式，但图形关于的旋转体体积，可以看成分别以直线x=1及曲线为42yx曲边梯形(图5-14)绕y轴旋转而成的旋转体体积之差,所以x=1x图5-1421yO42yx2224001116yVdyydy2250080yy3282805对于一般的空间立体,如果它与某一轴线(如x轴)相垂直的平面的截面面积()()Axaxb是一已知的连续函数,如图5-15,那么,根据元素法,可取体积微元为d()dVAxx,于是,空间的立体体积为()dbaVAxx.OaA(x)bx图5-152.平行截面面积为已知的立体体积*解取坐标系如图5-16所示，过任一点x，作垂直于x轴的截面，截面都是直角三角形，其面积为2222221()tan21()tan.2Axaxaxax选x为积分变量，积分区间为,aa，与小区间,dxxx对应的体积()dVAxx，所以楔形体的体积为AOBxa-aPQRyx图5-16例5设底面半径为a的圆柱体,被过圆柱底面直径AB且与底面成角的平面所截,求截下的楔形体的体积(如图5-16).22231()dtand211tantan23aaaaaaVAxxaxxaxx.*四、平面曲线的弧长在平面几何中，直线的长度容易计算，而曲线（除圆弧外）长度的计算就比较困难.现在将讨论这一问题.设有一条以,AB为端点的平面曲线弧AB,如图5-17,在曲线弧AB上依次插入1n个分点:0121,,,,,nnAMMMMMB.用直线段连接分点,得折线121nAMMMB,以折线长度作为弧AB长s的近似值11niiisMM,当11max0iiinMM时,上述和式的极限即为曲线段弧AB的弧长.yOxM1Mi-1MiMn-1B=MnA=M0图5-17下面推导弧长的计算公式.设曲线弧AB由参数方程,xttyt给出,其中,tt在区间,上具有连续的且不同时为零的导数,端点对应于t,端点B对应于t.xyxx+dxAMNPdsdxdyy=f(x)ysO图5-18使得弧长微分(即弧微分)2222ddd''dsxyttt,于是弧AB的长度为22''dsttt.取t为积分变量,积分区间为,,设t对应曲线上的点,Mxy,dtt对应点,Nxxyy,小区间,dttt对应小弧段MN,记小弧段MN的长度为s,则22sMNxy.而''dd,ddxxttyytt(图5-18),因此2222dd''dsxyttt,解dd(1cos),sin,ddxyatattt故弧长微元22222d(1cos)sind2(1cos)d2sind2sind,22satattattttatat于是2π2π002sind4cos822ttsataa.xyO图5-19(1sin)(1cos)xatyat2πa例6求摆线的一拱(sin),02π(1cos),xatttyat(图5-19)的弧长s,其中0a.解曲线由直角坐标方程给出,取x为参数(即积分变量),弧长微元22dd1()d1ddysxxxx,于是12012201d11ln(1)2221ln12.22sxxxxxx例7求抛物线22xy对应01x一段的弧长.当曲线由极坐标方程给出时,它有以为参数的参数方程cos,sin,xy由此不难证明弧微分为22dddds.应注意的是:弧长微元非负,取积分时,上限要大于下限.图5-20xO5cm1.变力沿直线所做的功五、定积分的其他应用例8已知1N的力能使某弹簧拉长1cm,求使弹簧拉长5cm拉力所做的功.解取弹簧的平衡点作为原点建立坐标系,如图5-20.由胡克定律知,在弹性限度内拉长弹簧所需的力F与拉长长度x成正比,即F=kx,其中k为劲度系数.已知拉长x=1cm=0.01m需力F=1N于是k=100N/m即F=100x.在区间0,0.05中任一小区间,dxxx上拉力所做的功,即功的微元dd100dWFxxx,于是拉力使弹簧拉长5cm0.05m所做的功0.050.05200100d500.125(J)Wxxx.xyOxdx图5-21例9设有一直径为8m的半球形水池,盛满水,若将池中的水抽干,问至少需做多少功?解建立直角坐标系,如图5-21,池壁与xOy平面的交线为半圆周22160xyx.取x为积分变量,0,4x.与小区间,dxxx对应的是厚度为dx的一层水,这层水的体积223dπdπ16dmVyxxx,其所受重力2ddπ16dkPgVgxxN,其中水的密度3310/mkg,重力加速度29.8m/gs,把这层水抽出,至少需提升x(单位: