极值点偏移

极值点偏移问题一、极值点偏移的含义众所周知，函数)(xf满足定义域内任意自变量x都有)2()(xmfxf，则函数)(xf关于直线mx对称；可以理解为函数)(xf在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(xf为单峰函数，则mx必为)(xf的极值点.如二次函数)(xf的顶点就是极值点0x，若cxf)(的两根的中点为221xx，则刚好有0212xxx，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(xf的极值点为m，且函数)(xf满足定义域内mx左侧的任意自变量x都有)2()(xmfxf或)2()(xmfxf，则函数)(xf极值点m左右侧变化快慢不同.故单峰函数)(xf定义域内任意不同的实数21,xx满足)()(21xfxf，则221xx与极值点m必有确定的大小关系：若221xxm，则称为极值点左偏；若221xxm，则称为极值点右偏.[KS5UKS5UKS5U]左快右慢（极值点左偏221xxm）左慢右快（极值点右偏221xxm）左快右慢（极值点左偏221xxm）左慢右快（极值点右偏221xxm）如函数xexxg)(的极值点10x刚好在方程cxg)(的两根中点221xx的左边，我们称之为极值点左偏.二、极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数)(xf存在两个零点21,xx且21xx，求证：0212xxx（0x为函数)(xf的极值点）；2.若函数)(xf中存在21,xx且21xx满足)()(21xfxf，求证：0212xxx（0x为函数)(xf的极值点）；3.若函数)(xf存在两个零点21,xx且21xx，令2210xxx，求证：0)('0xf；4.若函数)(xf中存在21,xx且21xx满足)()(21xfxf，令2210xxx，求证：0)('0xf.5.2120xxx三、应对极值点偏移问题的若干思路思路一:对称化构造1、方法概述：（1）求出函数)(xf的极值点0x；（2）构造一元差函数)()()(00xxfxxfxF；或)2()()(0xxfxfxF（3）确定函数)(xF的单调性；（4）结合0)0(F，判断)(xF的符号，从而确定)(0xxf、)(0xxf的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数)(xf满足)()(21xfxf，0x为函数)(xf的极值点，求证：0212xxx.（1）讨论函数)(xf的单调性并求出)(xf的极值点0x；假设此处)(xf在),(0x上单调递减，在),(0x上单调递增.[KS5UKS5U.KS5U（2）构造)()()(00xxfxxfxF；注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0xxfxfxF的形式.[KS5UKS5U]（对结论2120xxx，构造20xFxfxfx），（3）通过求导)('xF讨论)(xF的单调性，判断出)(xF在某段区间上的正负，并得出)(0xxf与)(0xxf的大小关系；假设此处)(xF在),0(上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000xfxfxFxF，从而得到：0xx时，)()(00xxfxxf.（4）不妨设201xxx，通过)(xf的单调性，)()(21xfxf，)(0xxf与)(0xxf的大小关系得出结论；接上述情况，由于0xx时，)()(00xxfxxf且201xxx，)()(21xfxf，故)2()]([)]([)()(2002002021xxfxxxfxxxfxfxf，又因为01xx，0202xxx且)(xf在),(0x上单调递减，从而得到2012xxx，从而0212xxx得证.（5）若要证明0)2('21xxf，还需进一步讨论221xx与0x的大小，得出221xx所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为0212xxx，故0212xxx，由于)(xf在),(0x上单调递减，故0)2('21xxf.【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(xf的单调性、极值点，证明)(0xxf与)(0xxf（或)(xf与)2(0xxf）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212xxx或0)2('21xxf的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.[KS5U口诀为：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随。例1．解：例2．已知函数)()(Rxxexfx.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若1x2x，且f(1x)=f(2x),证明：1x+2x2.例3．已知函数2()lnfxxx，若1x2x，且f(1x)=f(2x),证明：1x+2x4.证明：例4．已知函数221xfxxeax有两个零点.设12,xx是fx的两个零点，证明：122xx.解:不妨设12xx由题意知120fxfx.要证不等式成立，只需证当121xx时，原不等式成立即可.令11Fxfxfx，则'11xxFxxee，当0x时，'0Fx.00FxF.即11fxfx.令11xx，则2111111112fxfxfxfxfx,即212fxfx.而21,21,xx，且fx在1+，上递增，故212xx，即122xx.思路二:、极值点偏移问题的不等式解法我们熟知平均值不等式：,abR2221122abababab即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是ab.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：lnlnabab那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式a0,b0,abab，lnln2abababab＜＜以下简单给出证明：不妨设ab0，设abx，则原不等式变为：2(1)11,ln1xxxxxx以下只要证明上述函数不等式即可1用对数均值常数若,lnln1212xxxxlnln2abababab＜＜2021021221xxxxxx），（）证明：（,2.有时用对数不等式时，既需要)()(),()(1212xfxfxfxf也要。3.含有xe需要取对数，可用对数不等式4.用对数不等式时，需要先证明。以下我们来看看对数不等式的作用.例1：（2015长春四模题）已知函数()xfxeax有两个零点12xx，则下列说法错误的是A.aeB.122xxC.121xxD.有极小值点0x，且1202xxx【答案】C【解析】函数()fx导函数：'()xfxea有极值点lnxa，而极值(ln)ln0faaaa，ae，A正确.()fx有两个零点：110xeax，220xeax，即：11lnlnxax①22lnlnxax②①-②得：1212lnlnxxxx根据对数平均值不等式：1212121212lnlnxxxxxxxx122xx，而121xx，121xxB正确，C错误而①+②得：12122lnln2lnxxaxxa，即D成立.例2：(2010天津理)已知函数xfxxexR.如果12xx，且12fxfx.证明：122xx.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设12()()fxfxc，则11xxce，22xxce，12()xx两边取对数11lnlnxxc①22lnlnxxc②①-②得：12121lnlnxxxx根据对数平均值不等式12121212lnlnxxxxxx122xx例3：已知函数()lnfxxx与直线ym交于1122(,),(,)AxyBxy两点.求证：12210xxe【解析】由11lnxxm，22lnxxm，可得：11lnmxx①，22lnmxx②①-②得：211212121212lnln()lnlnlnlnlnlnxxxxmxxmxxxxxx③①+②得：211212(lnln)lnlnmxxxxxx④根据对数平均值不等式121212()2lnlnxxmxxxx利用③④式可得：121212(lnln)2lnlnlnlnmxxmxxxx由题于ym与lnyxx交于不同两点，易得出则0m∴上式简化为:212ln()2lnxxe∴12210xxe例4：（2011辽宁理）已知函数2ln(2)fxxaxax.若函数yfx的图像与x轴交于,AB两点，线段AB中点的横坐标为0x，证明：0'0fx【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设11(,())Axfx，22(,())Bxfx，12xx，则1202xxx，2111ln(2)0xaxax①2222ln(2)0xaxax②①-②得：12121212lnln()()(2)()0xxaxxxxaxx，化简得：12121210()(2)lnlnxxaxxaxx③而根据对数平均值不等式：121212lnln2xxxxxx③等式代换到上述不等式12012011()(2)22(2)xxxaxxaaxa④根据：002(2)0axax（由③得出）∴④式变为：200002(2)10(21)(1)0axaxxax∵0(21)0x，∴01xa，∴0x在函数单减区间中，即：0'()0fx例5：（2014江苏南通市二模）设函数xfxeaxaaR，其图象与x轴交于12,0,0AxBx两点，且12xx.证明：120fxx（fx为函数fx的导函数）.【解析】根据题意：110xeaxa，220xeaxa移项取对数得：11ln(1)lnxxa①22ln(1)lnxxa②①-②得：1212ln(1)ln(1)xxxx，即：1212(1)(1)1ln(1)ln(1)xxxx根据对数平均值不等式：121212(1)(1)(1)(1)1ln(1)ln(1)xxxxxx1212(1)(1)1ln(1)(1)0xxxx，①+②得：12122lnln(1)(1)2lnxxaxxa根据均值不等式：1212ln2xxxxa∵函数()fx在(,ln)a单调递减∴12'()0fxx练习1（天一大联考2019—2020）21.(12分）设函数221)1(ln)(xxkxkxf.(I)讨论函数)(xf的单调性；(II)设函数)(xf的图象与直线y=m交于),(),,(21mxBmxA两点，且)21xx，求证：0)2('21xxf.思路三:、齐次化构造解极值点偏移在极值点偏移问题中，证明与1212xxxx或有关的不等式中，常常设txxtxx1212或进行齐次化构造。构造一个关于t的函数。.1.换元一定要注t的范围。2.构造出关于t的函数，重新求导求解。例1已知函数2xfxaxeaR在0,上有两个零点为1212,()xxxx.（1