高中数学探究性试题汇编(2)

1高中数学探究性试题汇编（2）28、已知各项均为正数的数列na的前n项和为nS,且))(1(2*NnaaSnnn（1）求数列na的通项；（2）是否存在正整数qp,，使不等式))(1(2111*21Nnqpnaaan对所有正整数n均成立，并证明你的结论。解：（1）2)1(111nnnaaS…………○12)1(nnnaaS………………○20)1)((2)2()1(1121211nnnnnnnnnaaaaaaaaa整理得得……………………………………（2分）1011nnnnaaaa………………………………………………（4分）又)1(2111aaS11anan……………………………………………………………………（6分）49)1(21,1,)2(1qpqpannqp即有则取均成立数使该不等式对所有正整假设存在正整数1,*qpNqp………………………………………………………（8分）下面用数学归纳证明不等式21121212112)12(211,)12(211)11k(21k1)11(21112111,,1k1)11(212111,,)2()12(21,1)1()11(211121kkkkkkkkkkkkkkkkkkknnnaaan即成立，只需证欲证该式成立成立即可。需证欲证上面不等式成立只即不等式仍然成立上将该不等式两端同时加成立即不等式成立时假设当成立时当成立2该不等式显然成立当n=k+1时不等式也成立综上（1）、（2）对任意Nn命题都成立29．已知平面上一定点C（4，0）和一定直线Pxl,1:为该平面上一动点，作lPQ，垂足为Q，且（.0)2()2PQPCPQPC（1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；（2）设直线1:kxyl与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.解：（1）设P的坐标为),(yx，由0)2()2(PQPCPQPC得0||4||22PQPC（2分）∴（,0)1(4)4222xyx化简得.112422yx∴P点在双曲线上，其方程为.112422yx（2）设A、B点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，由1124122yxkxy得,0132)3(22kxxk221221313,32kxxkkxx，∵AB与双曲线交于两点，∴△0，即,0)13)(3(4422kk解得.213213k（9分）∵若以AB为直径的圆过D（0，－2），则AD⊥BD，∴1BDADkk，即1222211xyxy，∴)11(,0)3)(3(0)2)(2(21212121分xxkxkxxxyy∴)12.(09323)313)(1(09)(3)1(22221212分kkkkkxxkxxk解得)213,213(414,872kk，故存在k值……，所求k值为414.30．已知数列}na的前n项和nS满足.1,2,2211aakSSnn又（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求nS；（Ⅲ）是否存在正整数,,nm使211mSmSnn成立？若存在求出这样的正整数；若不存在，说明理由3解：（I）2212112kaaakSS又212212,1,221kkaa………………2分（Ⅱ）由（I）知2211nnSS①当2n时，2211nnSS②①－②，得)2(211naann………………4分又1221aa，易见*)(21*)(01NnaaNnannn于是}{na是等比数列，公比为21，所以)211(4211])21(1[2nnnS………………6分（Ⅲ）不等式211mSmSnn，即21)211(4)211(41mmnn整理得6)4(22mn…………8分假设存在正整数nm,使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，m4为整数，则只能是4)4(2mn14,42;24,22mmnn或………………10分因此，存在正整数21,2,3;1,21mSmSnmnmnn使或…………1231．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点)3,1(M、)1,5(N，若点C满足ONtOMtOC)1(（Rt），点C的轨迹与抛物线：xy42交于A、B两点.（Ⅰ）求证：OA⊥OB；（Ⅱ）在x轴上是否存在一点)0,(mP，使得过点P直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点。若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.解：1）解：由ONtOMtOC)1(（Rt）知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：)1(4)3(13xy即4xy…………….2分由016124)4(44222xxxxxyxy∴1621xx1221xx∴1616)(4)4)(4(212121xxxxxxyy4∴02121yyxx故OA⊥OB.……………………………………6分2）解：存在点)0,4(P，使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点由题意知：弦所在的直线的斜率不为零…………………………………7分故设弦所在的直线方程为：4kyx代入xy2得01642kyy∴kyy4211621yy116161644212222112211yyyyyyxyxykkOBOA∴OBOA故以AB为直径的圆都过原点…………………………..10分设弦AB的中点为),(yxM则)(2121xxx)(2121yyy848)4(8)(442212121kkkyykkykyxx∴弦AB的中点M的轨迹方程为：kykx2422消去k得822xy.……………………14分32．设函数mxexfmx其中,)(R.（I）求函数)(xf的最值；（Ⅱ）给出定理：如果函数)(xfy在区间[ba,]上连续，并且有0)()(bfaf，那么，函数)(xfy在区间),(ba内有零点，即存在0)(),,(00xfbax使得.运用上述定理判断，当1m时，函数)(xf在区间)2,(mm内是否存在零点.解：（I）,1)(,),()(mxexfxf上连续在令.,0)(mxxf得……………………2分;1)()(.)(,,.0)(,1,),(;0)(,1,),(minmmfxfxfmxxfemxxfemxmxmx取极小值也是最小值时当所以时当时当由①知f（x）无最大值.……………………6分（Ⅱ）函数f（x）在[m，2m]上连续.,02)(,1,2)(,2)(,2)2(emgmemgmemgmemfmmm则令而①5),1()(在mg上递增.……………………8分由,0)2(,0)1()(02)1(mfgmgeg即得……………………10分又,0)2()(,01)(mfmfmmf根据定理，可判断函数f（x）在区间（m，2m）上存在零点.……………………12分33．已知数列{an}有a1a，a2p(常数p0)，对任意的正整数n，Sna1a2…an，并有Sn满足2)(1aanSnn。(1)求a的值；(2)试确定数列{an}是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；(3)对于数列{bn}，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有bnb，且bbnnlim，则称b为数列{bn}的“上渐进值”，令2112nnnnnSSSSp，求数列{p1p2…pn2n}的“上渐进值”。解：（1）021111aaaS，即0a（2）2111nnnnnannaSSa121nnannapnannnn112233432212∴na是一个以0为首项，p为公差的等差数列。（3）2121pnnaanSnn，2112nnnnnSSSSp2112222nnnnnn∴21111116141513141213112221nnnnnpppn321112321112112nnnn又∵32lim21npppnn，∴数列npppn221的“上渐近值”为3。34．已知函数)Nn(xaxaxaxaa)x(fnn332210,且)x(fy的图象经过点)n,1(2,数列}a{n为等差数列.(1)求数列}a{n的通项公式(2)当n为奇数时,设)],x(f)x(f[21)x(g问:是否存在自然数m和M,使得不等式M)21(gm恒成立?若存在,求出mM的最小值;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意得,n)1(f2即2n210naaaa.令1n,则,1aa10令2n,则,2aaa2210.3)aa(4a102令3n,则,3aaaa232106.5)aaa(9a2103……(3分)设等差数列}a{n的公差为d,则,2aad23,0a,1daa021……(5分)∴1n22)1n(1an.……(6分)(2)由(1)知:)x(fnn33221xaxaxaxa.n为奇数时,)x(f.xaxaxaxaxann1n1n33221……(7分)∴)]x(f)x(f[21)x(g)21(gxaxaxaxaxann2n2n55331.)21()1n2()21()5n2()21(9)21(5211n2n53…………①,)21()1n2()21()5n2()21(5)21(1)21(g412nn53…………②……(9分)由①－②得:,)21()1n2(])21()21()21[(4211)21(g432nn53∴.)21(n)32()21(913914)21(gnn……(10分)设nn)21(n32C,∵),Nn(,0)21()n1(31CCnn1n∴nC随n的增加而减小.又n)21(913随n的增大而减小,∴)21(g为n的增函数.……(12分)当1n时,21)21(g,而,914)21(n)32()21(913914)21(gnn∴.914)21(g21……(13分)由此易知:使M)21(gm恒成立的m的最大值为0,M的最小值为2,M－m的最小值为2.……(14分)35．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝1(3)nna（n∈N*），Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的整数t，使得任意的n均有Sn＞36t总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意得（a1＋d）（a1＋13d）=（a1＋4d）2，………………………2分整理得2a1d＝d2．∵a1＝1，解得（d＝0舍），d＝2．……………