新定义函数-重庆中考新题型

函数图形变换方法总结：1．掌握函数平移的规律，包括一次函数、反比例函数和二次函数；2．确定函数的特征点为基准移动函数，并确定移动后的解析式；3．根据题目要求结合函数性质解决问题。例1．我们规定：形如()axkyabkkabxb、、为常数，且的函数叫做“奇特函数”.当0ab时，“奇特函数”axkyxb就是反比例函数(0)kykx.（1）若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x和y后，得到的新矩形的面积为8，求y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连结OB，CD交于点E，“奇特函数”6axkyx的图象经过B，E两点.①求这个“奇特函数”的解析式；②把反比例函数3yx的图象向右平移6个单位，再向上平移个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE中点M的一条直线l与这个“奇特函数”的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16103，请直接写出点P的坐标．例2．定义{a，b，c}为函数y=ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y=x2-2x+3的“特征数”是{1，-2，3}，函数y=2x+3的“特征数”是{0，2，3}，函数y=-x的“特征数”是{0，-1，0}（1）将“特征数”是30,,13的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是313yx；（2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与y轴交于A、B两点，与直线3x分别交于D、C两点，判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长；（3）若（2）中的四边形与“特征数”是211,2b,b2的函数图象的有交点，求满足条件的实数b的取值范围．变式如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．(1)若一个函数的特征数为[-2，1]，求此函数图象的顶点坐标．(2)探究下列问题：①若一个函数的特征数为[4，-1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？例3．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．（1）抛物线212yx对应的碟宽为；抛物线y=4x2对应的碟宽为；抛物线y=ax2（a＞0）对应的碟宽为；抛物线y=a(x-2)2+3（a＞0）对应的碟宽为；（2）抛物线2543yaxax（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；（3）将抛物线y=anx2+bnx+cn（an＞0）的对应准蝶形记为Fn（n=1，2，3…），定义F1，F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若Fn与Fn﹣1的相似比为12，且Fn的碟顶是Fn﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1．①求抛物线y2的表达式；②若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，…Fn的碟高为hn，则hn=，Fn的碟宽有端点横坐标为2；若F1，F2，…，Fn的碟宽右端点在一条直线上，请直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由。例4．如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y=-2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=-x2-3x+4，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=-2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx-4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=10，直接写出l，P表示的函数解析式．参考答案：例1【解析】（1）322xyx，是“奇特函数”；（2）①296xyx；②(7,5)或53,3或715,3或(5,1).试题分析：（1）根据题意列式并化为322xyx，根据定义作出判断.（2）①求出点B，D的坐标，应用待定系数法求出直线OB解析式和直线CD解析式，二者联立即可得点E的坐标，将B（9，3），E（3，1）代入函数6axkyx即可求得这个“奇特函数”的解析式.②根据题意可知，以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP，据此求出点P的坐标.试题解析：（1）根据题意，得，∵，∴.∴.根据定义，是“奇特函数”.（2）①由题意得，.易得直线OB解析式为，直线CD解析式为，由解得.∴点E（3，1）.将B（9，3），E（3，1）代入函数，得，整理得，解得.∴这个“奇特函数”的解析式为.②∵可化为，∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到.∴关于点（6，2）对称.∵B（9，3），E（3，1），∴BE中点M（6，2），即点M是的对称中心.∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP.由勾股定理得，.设点P到EB的距离为m，∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，∴.∴点P在平行于EB的直线上.∵点P在上，∴或.解得.∴点P的坐标为或或或.考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用.例2【解析】（1）根据函数“特征数”写出函数的解析式，再根据平移后一次函数的变化情况写出函数图象向下平移2个单位的新函数的解析式．（2）判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形形状，可根据一次函数图象向下平移2个单位与原函数图象的关系，得出AB=2，并确定为平行四边形，由直线相交计算交点坐标后，求出线段BC=2，再根据菱形的判定（邻边相等的平行四边形是菱形）得出，其周长=2×4=8；（3）根据函数“特征数”写出二次函数的解析式，化为顶点式为y=（x-b）2+，确定二次函数的图象不会经过点B和点C，再将菱形顶点A（0，1），D（）代入二次函数解析式得出实数b的取值范围．【解析】（1）y=（1分）“特征数”是的函数，即y=+1，该函数图象向下平移2个单位，得y=．（2）由题意可知y=向下平移两个单位得y=∴AD∥BC，AB=2．∵，∴AB∥CD．∴四边形ABCD为平行四边形．，得C点坐标为（，0），∴D（）由勾股定理可得BC=2∵四边形ABCD为平行四边形，AB=2，BC=2∴四边形ABCD为菱形．∴周长为8．（3）二次函数为：y=x2-2bx+b2+，化为顶点式为：y=（x-b）2+，∴二次函数的图象不会经过点B和点C．设二次函数的图象与四边形有公共部分，当二次函数的图象经过点A时，将A（0，1），代入二次函数，解得b=-，b=（不合题意，舍去），当二次函数的图象经过点D时，将D（），代入二次函数，解得b=+，b=（不合题意，舍去），所以实数b的取值范围：．例3【解析】试题分析：（1）根据定义可算出y=ax2（a＞0）的碟宽为、碟高为，由于抛物线可通过平移y=ax2（a＞0）得到，得到碟宽为、碟高为，由此可得碟宽、碟高只与a有关，与别的无关，从而可得．（2）由（1）的结论，根据碟宽易得a的值．（3）①根据y1，容易得到y2．②结合画图，易知h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在直线x=2上，可以考虑hn∥hn﹣1，且都过Fn﹣1的碟宽中点，进而可得．画图时易知碟宽有规律递减，由此可得右端点的特点．对于“F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？”，我们可以推测任意相邻的三点是否在一条直线上，如果相邻的三个点不共线则结论不成立，反之则成立，所以可以考虑基础的几个图形关系，利用特殊点求直线方程即可．试题解析：（1）4；1；；．∵a＞0，∴y=ax2的图象大致如下：其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB．∵△DAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，∴OC⊥AB，∴∠OCA=∠OCB=∠AOB=×90°=45°，∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形，∴AC=OC=BC，∴xA=-yA，xB=yB，代入y=ax2，∴A（﹣，），B（，），C（0，），∴AB=，OC=，即y=ax2的碟宽为．①抛物线y=x2对应的a=，得碟宽为4；②抛物线y=4x2对应的a=4，得碟宽为为；③抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为；④抛物线y=a(x﹣2)2+3（a＞0）可看成y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，∵平移不改变形状、大小、方向，∴抛物线y=a(x﹣2)2+3（a＞0）的准碟形与抛物线y=ax2的准碟形全等，∵抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为，∴抛物线y=a(x﹣2)2+3（a＞0），碟宽为．（2）∵y=ax2﹣4ax﹣，∴由（1），其碟宽为，∵y=ax2﹣4ax﹣的碟宽为6，∴=6，解得A=，∴y=x2﹣x﹣=(x﹣2)2﹣3（3）①∵F1的碟宽：F2的碟宽=2：1，∴=，∵a1=，∴a2=．∵y=(x﹣2)2﹣3的碟宽AB在x轴上（A在B左边），∴A（﹣1，0），B（5，0），∴F2的碟顶坐标为（2，0），∴y2=(x﹣2)2．②∵Fn的准碟形为等腰直角三角形，∴Fn的碟宽为2hn，∵2hn：2hn﹣1=1：2，∴hn=hn﹣1=()2hn﹣2=()3hn﹣3=…=()n+1h1，∵h1=3，∴hn=．∵hn∥hn﹣1，且都过Fn﹣1的碟宽中点，∴h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在一条直线上，∵h1在直线x=2上，∴h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在直线x=2上，∴Fn的碟宽右端点横坐标为2+．另，F1，F2，…，Fn的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=﹣x+5．分析如下：考虑Fn﹣2，Fn﹣1，Fn情形，关系如图2，Fn﹣2，Fn﹣1，Fn的碟宽分别为AB，DE，GH；C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上，连接右端点，BE，EH．∵AB∥x轴，DE∥x轴，GH∥x轴，∴AB∥DE∥GH，∴GH平行且等于FE，DE平行且等于CB，∴四边形GFEH，四边形DCBE都为平行四边形，∴HE∥GF，EB∥DC，∵∠GFI=∠GFH=∠DCE=∠DCF，∴GF∥DC，∴HE∥EB，∵HE，EB都过E点，∴HE，EB在一条直线上，∴Fn﹣2，Fn﹣1，Fn的碟宽的右端点是在一条直线，∴F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是在一条直线．∵F1：y1=(x﹣2)2﹣3准碟形右端点坐标为（5，0），F2：y2=(x﹣2)2准碟形右端点坐标为（2+，），∴待定系数可得过两点的直线为y=﹣x+5，∴F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是在直线y=﹣x+5上．考点：1、等腰直角三角形；2、二次函数的性质；3多点共线例4解析：参考题目：1．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”，已知点C的坐标为（0，32），点M是抛物线C2：y=mx2-2mx-3m(m0)的顶点.（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限内是否存在一点P，使得∆PBC的面积最大？若存在，求出∆PB