函数新定义有答案版本

1函数新定义1、2010年松江二模23．(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)（本题满分18分，第（1）题5分，第（2）题8分，第（3）题5分）设函数)(xfy的定义域为D，值域为B，如果存在函数()xgt，使得函数(())yfgt的值域仍然是B，那么，称函数()xgt是函数)(xfy的一个等值域变换，（1）判断下列()xgt是不是)(xfy的一个等值域变换？说明你的理由；()A()2,fxxbxR，223,xtttR；()B2()1,fxxxxR，()2,txgttR；（2）设2()logfxx的值域[1,3]B，已知223()1mttnxgtt是)(xfy的一个等值域变换，且函数(())fgt的定义域为R，求实数,mn的值；（3）设函数)(xfy的定义域为D，值域为B，函数()gt的定义域为1D，值域为1B，写出()xgt是)(xfy的一个等值域变换的充分非必要条件（不必证明），并举例说明条件的不必要性．解：（1）()A：函数()2,fxxbxR的值域为R，2223(1)22xttt，2(())2[(1)2]4yfgttbb，所以，()xgt不是()fx的一个等值域变换；…………2分()B：22133()1()244fxxxx，即()fx的值域为3[,)4，当Rt时，4343)212())((2ttgf，即(())yfgt的值域仍为3[,)4，所以，()xgt是()fx的一个等值域变换；…………5分（2）2()logfxx的值域为]3,1[，由3log12x知82x，即2()logfxx定义域为[2,8]，…………6分因为()xgt是()fx的一个等值域变换，且函数(())fgt的定义域为R，所以，223(),1mttnxgttRt的值域为[2,8]，…………8分222223282(1)38(1)1mttntmttntt，所以，恒有22(2)3(2)0(8)3(8)0mttnmttn，且存在12,ttR使两个等号分别成立，………10分2于是0)8)(8(490)2)(2(498221nmnmm，解得23352335nm或23352335nm…………13分（3）设函数()fx的定义域为D，值域为B，函数()gt的定义域为1D，值域为1B，则()xgt是()fx的一个等值域变换的充分非必要条件是“D=1B”．…………15分条件的不必要性的一个例子是．2)(xxf，RD，),0[B12)(ttg，RD1，),1(1B此时1BD，但2)12())((ttgf的值域仍为),0[B，即12)(ttg)(Rx是2)(xxf)(Rx的一个等值域变换。…………18分2、2010年徐汇二模21．（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科）（满分16分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第三小题6分）已知函数()(0)xafxaax（1）判断并证明)(xfy在),0(x上的单调性；（2）若存在0x，使00fxx，则称0x为函数fx的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a的值，并求出不动点0x；（3）若xxf2)(在),0(x上恒成立,求a的取值范围．21．解：（1）xaxf11)(对任意的1212,(0,)xxxx且-------------------------------------------1分21212121)11()11()()(xxxxxaxaxfxf--------------------------------3分∵021xx∴0,02121xxxx∴0)()(21xfxf，函数)(xfy在),0(x上单调递增。-----------------5分3（2）解：令20xaxaxxaax，-------------------------------------7分令211402aa（负值舍去）---------------------------------------9分将12a代入20axxa得220110210122xxxxx---------10分（3）∵xxf2)(∴xxa121----------------------------------------12分∵0x∴2212xx（等号成立当22x）--------------------14分∴min112(2)224xaaxa的取值范围是2,4------------------------------------------16分3、2011年二模虹口23、（本题满分18分）对于定义域为D的函数)(xfy，如果存在区间Dnm],[，同时满足：①)(xf在],[nm内是单调函数；②当定义域是],[nm时，)(xf的值域也是],[nm．则称],[nm是该函数的“和谐区间”．（1）求证：函数xxgy53)(不存在“和谐区间”．（2）已知：函数xaxaay221)(（0,aRa）有“和谐区间”],[nm，当a变化时，求出mn的最大值．（3）易知，函数xy是以任一区间],[nm为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的xy及形如axcbxy的函数为例）3、（18分）（1）设],[nm是已知函数定义域的子集．0x，)0,(],[nm或),0(],[nm，故函数xy53在],[nm上单调递增．若],[nm是已知函数的“和谐区间”，则nngmmg)()(……………4分4故m、n是方程xx53的同号的相异实数根．0532xx无实数根，函数xy53不存在“和谐区间”．………………6分（2）设],[nm是已知函数定义域的子集．0x，)0,(],[nm或),0(],[nm，故函数xaaaxaxaay222111)(在],[nm上单调递增．若],[nm是已知函数的“和谐区间”，则nnfmmf)()(……………10分故m、n是方程xxaaa211，即01)(22xaaxa的同号的相异实数根．012amn，m，n同号，只须0)1)(3(2aaa，即1a或3a时，已知函数有“和谐区间”],[nm，34)311(34)(22amnmnmn，当3a时，mn取最大值332………………14分（3）如：2xy和谐区间为]2,0[、]3,1[，当2ba的区间],[ba；xy2sin和谐区间为]1,0[；21xy和谐区间为]0,1[；………………………………………………18分4、2011年卢湾二模23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于定义域为D的函数()yfx，若有常数M，使得对任意的1xD，存在唯一的2xD满足等式12()()2fxfxM，则称M为函数yfx的“均值”．（1）判断0是否为函数()2(1fxxx1)的“均值”，请说明理由；（2）若函数2()2(12,fxaxxxa为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）已知函数()fx是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数()fx的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．523．解：（1）对任意的1[1,1]x，有1[1,1]x，当且仅当21xx时，有121212()()22022fxfxxxxx，故存在唯一2[1,1]x，满足12()()02fxfx，……………………2分所以0是函数()2(11)fxxx的“均值”．……………………4分(另法：对任意的1[1,1]x，有1[1,1]x，令21xx，则2[1,1]x，且1212()()22022fxfxxx，若2[1,1]x，且12()()02fxfx，则有22()()fxfx，可得22xx，故存在唯一2[1,1]x，满足12()()02fxfx，……………………2分所以0是函数()2(11)fxxx的“均值”．……………………4分）（2）当0a时，()2(12)fxxx存在“均值”，且“均值”为3；…………5分当0a时，由2()2(12)fxaxxx存在均值，可知对任意的1x，都有唯一的2x与之对应，从而有2()2(12)fxaxxx单调，故有11a或12a，解得1a或0a或102a，……………………9分综上，a的取值范围是12a或1a．……………………10分（另法：分0,a1111,12,2aaa四种情形进行讨论）（3）①当I(,)ab或[,]ab时，函数()fx存在唯一的“均值”．这时函数()fx的“均值”为2ab；…………………12分②当I为(,)时，函数()fx存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数()fx的“均值”；……………………14分③当I(,)a或(,)a或[,)a或(,]a或[,)ab或(,]ab时，函数()fx不存在“均值”．……………………16分[评分说明：若三种情况讨论完整且正确，但未用等价形式进行叙述，至多得6分；若三种情况讨论不完整，且未用等价形式叙述，至多得5分]①当且仅当I形如(,)ab、[,]ab其中之一时，函数()fx存在唯一的“均值”．这时函数()fx的“均值”为2ab；……………………13分②当且仅当I为(,)时，函数()fx存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数()fx的“均值”；……………………16分③当且仅当I形如(,)a、(,)a、[,)a、(,]a、[,)ab、(,]ab其中之一时，函数()fx不存在“均值”．……………………18分（另法：①当且仅当I为开区间或闭区间时，函数()fx存在唯一的“均值”．这时函数()fx的均值为区间I两端6点的算术平均数；……………………13分②当且仅当I为(,)时，函数()fx存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数()fx的“均值”；……………………16分③当且仅当I为除去开区间、闭区间与(,)之外的其它区间时，函数()fx不存在“均值”．……………………18分）[评分说明：在情形①与②中，等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值”，各扣1分]说明：对于（3），将根据结论的完整性与一般性程度给予不同的评分．5、2012年浦东二模23、（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.已知函数Dxxfy),(，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有)()(xfmTxf成立，则称函数)(xf是D上的m级类增周期函数，周期为T.若恒有)()(xfmTxf成立，则称函数)(xf是D上的m级类周期函数，周期为T.（1）已知函数axxxf2)(是,3上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；（2）已知1T，)(xfy是,0上m级类周期函数，且)(xfy是,0上的单调递增函数，当1,0x时，xxf2)(，求实数m的取值范围；（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，问题（Ⅰ）6分，问题（Ⅱ）8分，