2016年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题

12016年福建省高中数学竞赛暨2016年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2016年5月22日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）1．若函数()3cos()sin()63fxxx=+−−（0）的最小正周期为，则()fx在区间02，上的最大值为。2．已知集合2320Axxx=−+，13Bxax=−，若AB，则实数a的取值范围为。3．函数22()ln2fxxxx=+−零点的个数为。4．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，二面角1BACD−−的大小为。5．在空间四边形ABCD中，已知2AB=，3BC=，4CD=，5DA=，则ACBD=。6．已知直线l过椭圆C：2212xy+=的左焦点F且交椭圆C于A、B两点。O为坐标原点，若OAOB⊥，则点O到直线AB的距离为。7．已知zC，若关于x的方程23204xzxi−++=（i为虚数单位）有实数根，则复数z的模z的最小值为。8．将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为。（用数字作答）9．()fx是定义在R的函数，若(0)1008f=，且对任意xR，满足(4)()2(1)fxfxx+−+，(12)()6(5)fxfxx+−+，则(2016)2016f=。10．当x，y，z为正数时，2224xzyzxyz+++的最大值为。2二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）11．已知数列na的前n项和22nnSa=−（*nN）。（1）求na的通项公式na；（2）设11(1)nnbann=−+，nT是数列nb的前n项和，求正整数k，使得对任意*nN均有knTT；（3）设11(1)(1)nnnnacaa++=++，nR是数列nc的前n项和，若对任意*nN均有nR成立，求的最小值。12．已知2()ln()fxaxbx=++（0a）。（1）若曲线()yfx=在点(1(1))f，处的切线方程为yx=，求a，b的值；（2）若2()fxxx+恒成立，求ab的最大值。313．如图，O⊙为ABC△的外接圆，DA是O⊙的切线，且DBAABC=，E是直线DB与O⊙的另一交点。点F在O⊙上，且BFEC∥，G是CF的延长线与切线DA的交点。求证：AGAD=。14．如图，1F、2F为双曲线C：2214xy−=的左、右焦点，动点00()Pxy，（01y）在双曲线C上的右支上。设12FPF的角平分线交x轴于点(0)Mm，，交y轴于点N。（1）求m的取值范围；（2）设过1F，N的直线l交双曲线C于点D，E两点，求2FDE△面积的最大值。FDOABCEG（第13题）415．求满足下列条件的最小正整数n：若将集合123An=，，，，任意划分为63个两两不相交的子集（它们非空且并集为集合A）1A，2A，3A，…，63A，则总存在两个正整数x，y属于同一个子集iA（163i）且xy，3132xy。