例析一次函数中的行程距离问题-绝对经典

第1页例析一次函数中的行程距离问题一次函数的应用是初中数学的重要内容，也是近年来命题者关注的热点，尤其是一次函数图象与相关行程距离问题结合紧密，它要求同学们具备较好提取图表信息能力，分析问题、解决问题的能力及数学素养、数学能力，现结合试题中有关行程距离问题为例进行说明，希望能给同学们带来一定的启示与帮助。例1一方有难，八方支援.2010年4月14日青海玉树发生地震，全国各地积极运送物资支援灾区.现有甲、乙两车要从M地沿同一公路运输救援物资往玉树灾区的N地，乙车比甲车先行1小时，设甲车与乙车之间的路程．．．．．．．．．．为y（km），甲车行驶时间为t（h），y（km）与t（h）之间的函数关系的图象如图所示.结合图象解答下列问题（假设甲、乙两车的速度始终保持不变）：（1）乙车的速度是km/h；（2）求甲车的速度和a的值.思路点拨：结合题意及图象可知t（h）表示甲车．．行驶的时间.y（km）表示甲车与乙车之间的．．．．．．．．路程．．，y轴上的40km表示乙车比甲车先行1小时所行驶的路程，即乙车的速度；当甲车行驶12小时，乙车已行驶了13小时，此时两车相距200km，根据这两车的路程关系构建方程求解甲车的速度，而a为甲车行驶的时间在轴上，说明两车的距离为0，即甲车追上乙车，借助路程列出方程求解a。解析：（1）40（2）解法1：设甲车的速度为xkm/h，依题意得12(121)40200x，解得x=60。又(1)4060aa，∴a=2。答：甲车的速度为每小时60千米，a的值为2.点评：本题是一道典型的图表信息题，其中以新闻热点为背景，取材真实新颖而又生动，关键a12O40200t(h)y(km)第2页在于运用数形结合的思想，弄清函数图象中的变量含义及实际意义，将抽象的图表信息问题转化为数学模型（路程、速度、时间），通过构建方程知识解决实际问题，例2一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图像.思路点拨：结合直线上两点（1.5，70）、（2，0），运用待定系数法求解出直线的解析式，进而求出点A的坐标，即甲乙两地之间的距离；借助有关两车的路程问题构建方程组求解两车的速度和时间；通过分析可知y关于x的函数的图像还存在两段：两车同时行驶两车的距离和慢车到达甲地后快车继续行驶时两车的距离与x的关系。解析：（1）线段AB所在直线的函数解析式为：y＝kx＋b，将（1.5，70）、（2，0）代入得：1.57020kbkb，解得：140280kb，所以线段AB所在直线的函数解析式为：y＝－140x＋280，当x＝0时，y＝280，所以甲乙两地之间的距离280千米．（2）设快车的速度为m千米/时，慢车的速度为n千米/时，由题意得：222802240mnmn，解得：8060mn，所以快车的速度为80千米/时，所以2807802t．（3）如图所示．第3页点评：一次函数图象与实际问题结合是近年中考的热点问题，这类问题通常是从函数图象中得出需要的信息，然后利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用解析式解决问题．解决此类问题一是要能深刻理解题意，看懂图象和熟悉实际情景中的数量关系，应用数形结合的思想方法，联系各种知识进行分析推理；二是要准确“识图”，从图象中获取有效信息进行加工、处理与整理，将图象信息与实际数据转化为相应的数学问题．理清中变量之间的关系，通过合理建模解决实际问题。例3某物流公司的甲、乙两辆货车分别从AB、两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站C，甲车先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地，如图是甲、乙两车间的距离y（千米）与乙车出发时间x（时）的函数的部分图象（1）AB、两地的距离是千米，甲车出发小时到达C地；（2）求乙车出发2小时后直至到达A地的过程中，y与x的函数关系式及x的取值范围，并在图中补全函数图象；（3）乙车出发多长时间，两车相距150千米？思路点拨：由于甲、乙两辆货车分别从AB、两地同时相向而行，而y表示甲、乙两车间的距离，可知在行驶前的距离为300千米，甲车到达C地后，两车的距离函数关系发生变化，结合函数图象容易看出此时的时间为1.5小时，在2小时这一时刻，甲乙相遇；在2到2.5小时，甲停乙动；2.5到3.5小时，甲乙都运动；3.5到5小时甲走完全程，乙在运动；第（3）问就是知道函数值，根据不同的函数关系求出相应的x的值.．第4页解析：（1）300，1.5；（2）由题意知，乙车速度为306021.5，甲车速度为30030601201.5AC、两地距离为1201.5180BC，、两地距离为300180120当2.5x时，甲车从C地出发，此时30y，甲车从C地到达B地所需时间为1201201，当3.5x时，甲车到达目的地，此时1201601.5210y乙车到达目的地所需时间为300560，当5x时，300y.当22.5x≤≤时，设11ykxb，则1111202.530kbkb，解得1160120kb当2.53.5x≤≤时，设22ykxb，则22222.5303.5210kbkb，解得22180420kb当3.55x≤≤时，设33ykxb，则33333.52105300kbkb，解得33600kb即60120(22.5)180420(2.53.5)60(3.55)xxyxxxx≤≤≤≤，画出图象（3）设乙车出发x小时两车相距150千米12060150300xx①，解得56x②由（2）得180420150x，解得196x答：乙车出发56或196小时两车相距150千米.点评：本题的设计体现了图表信息题的基本的思考思路，信息的读取要求能弄清题意，看懂函数图象，理解函数图象所代表的实际意义。函数图象是自变量与函数值变化的最直观，最形象的反映，也是现实数量关系最直接的反映，通过观察函数图象的特征进而分析与确定函数的自变量与函数值之间的变化规律与特征。