概率论复习题及答案

概率论与数理统计复习题一．事件及其概率1.设A,B,C为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1)A,B,C都不发生；(2)A,B,C不都发生；(3)A,B,C至少有一个发生；(4)A,B,C至多有一个发生。解：(1)ABCABC(2)ABCABC(3)ABC(4)BCACAB2.设A,B为两相互独立的随机事件,P(A)0.4,P(B)0.6,求P(AB),P(AB),P(A|B)。解：P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.76；P(AB)P(AB)P(A)P(B)0.16,P(A|B)P(A)0.4。3.设A,B互斥，P(A)0.5，P(AB)0.9，求P(B),P(AB)。解：P(B)P(AB)P(A)0.4,P(AB)P(A)0.5。4.设P(A)0.5,P(B)0.6,P(A|B)0.5，求P(AB),P(AB)。解：P(AB)P(B)P(A|B)0.3,P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.8,P(AB)P(AB)P(A)P(A)B。0.25.设A,B,C独立且P(A)0.9,P(B)0.8,P(C)0.7,求P(ABC)。解：P(ABC)1P(ABC)1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)0.994。6.袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求(1)取到两个黄球的概率；(2)取到一个黄球、一个白球的概率。解：(1)P2CC4210215；(2)P11CC462C10815。7.从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。解：P12CC153C10112。18.从(0,1)中任取两数，求两数之和小于0.8的概率。解：10.80.820.32P。19.甲袋中装有5只红球，15只白球，乙袋中装有4只红球，5只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？解：设A“从甲袋中取出的是红球”，B“从乙袋中取出的是红球”，则：1312P(A),P(A),P(B|A),PB(A|),4425由全概率公式得：17P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)。4010.某大卖场供应的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为95%、85%、80%，求(1)买到的一台微波炉是合格品的概率；(2)已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？解：(1)设A1,A2,A3分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产，B表示买到合格品，则P(A)0.5P,A()0.P4,A()P0.B1,A(|)P0.B95A,(|P)B0.A,85,(|)1231233由全概率公式得P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.895；i1(2)P(A|B)1P(AB)P(A)P(B|A)0.47595111P(B)P(B)0.895179。二．一维随机变量及其数字特征1.已知X的概率密度函数f(x)kx1,0x20,else，求1k,PX,EX。2解：21f(x)dx(kx1)dx2k21k,021192PXx1dx，122162212EXxx1dx。0232.设X~B(3,0.1)，求PX2,P{X1}。解：223P{X2}C(0.1)(0.9)0.027,P{X1}1P{X0}10.90.271。33.设三次独立随机试验中事件A出现的概率相同，已知事件A至少出现一次的概率为验中出现的概率p。3764，求A在一次试解：三次试验中A出现的次数X~B(3,p)，由题意：23710033P{X1}1PX01C3p(1p)1(1p)p。6441000,x100011.某种灯管的寿命X（单位：小时）的概率密度函数为2f(x)x，0,else(1)求P{X1500}；(2)任取5只灯管，求其中至少有2只寿命大于1500的概率。解：(1)10002P{X1500}dx21500x3；(2)设5只灯管中寿命大于1500的个数为Y，则2Y~B5,，故354121232P{Y2}1P{Y0}P{Y1}15。33324312.设X~B(n,p),EX1.6,DX1.28,求n,p。解：EXnp1.6,DXnp(1p)1.28n8,p0.2。13.设X~(2)，求2P{X2},E(X2X3)。解：2P{X2}13e，222E(X2X3)E(X)2EX3EXDX2EX342437。14.设X~U[1,6]，求P4X2。解：1f(x)70,,1x6else，13212P4X2f(x)dx0dxdx。4147715.设X服从(1,5)上的均匀分布，求方程210tXt有实根的概率。解：1f(x)60,,1x5else，5112P{0}P{X40}dx。26216.设X~U[1,3]，求EX,DX,E1X。解：12(31)1,1x311113EX2,DX,f(x)2,Edxln3123Xx2210,else。317.设某机器生产的螺丝长度X~N(10.05,0.0036)。规定长度在范围10.050.12内为合格，求螺丝不合格的概率。解：螺丝合格的概率为P10.050.12X10.050.12P0.120.906X4.050.060.120.06(2)(2)2(2)10.9544故螺丝不合格的概率为10.95440.0456。5.设X~N(0,4)，Y2X3000，求EY、DY及Y的分布。解：EY2EX30003000,DY4DX16,Y~N(3000,16)。6.设X与Y独立，且X~N(1,1),Y~N(1,3),求E(2XY),D(2XY)。解：E(2XY)2EXEY1,D(2XY)4DXDY7。7.设1X~(4),Y~B4,,0.6,求D(3X2Y)。XY2解：(32)941225.6DXYDXDYDXDY。XY8.设X~U[1,2]，求YX的概率密度函数。解：F(y)PYyP{Xy}Y(1)当y0时，FY(y)0；12y(2)当0y1时，F(y)dxy；Y3y3(3)当1y2时，11y1yFY(y)0dxdx；y133(4)当y2时，FY(y)1；故F(y)Y0,y023y,0y1y31,1y2，23,0y11f(y)F(y),1y2YY30,else。1,y2三．二维随机变量及其数字特征1.已知(X,Y)的联合分布律为：4YX11250.10.4050.2a0.2(1)求a；(2)求PX0,Y1,P{Y1|X5}；(3)求X,Y的边缘分布律；(4)求XY；(5)判断X,Y是否独立。解：(1)a0.1;(2)0.3,0.2；(3)X:0.5,0.5;Y:0.3,0.5,0.2；(4)EX0,EY0.6,E(XY)0cov(X,Y)0,XY0；(5)18.0.419.0.1，不独立。0.10已知(X,Y)的联合分布律为：XY1020a1916119b13且X与Y相互独立，求：(1)a,b的值；(2)P{XY0}；(3)X,Y的边缘分布律；(4)EX,EY,DX,DY；(5)ZXY的分布律。11解：(1)a1296,ab11189b93;5(2)45P{XY0}1P{XY0}1；99(3)11112X:,,;Y:,；63233(4)51353222222222EX,EX,DXEX(EX),EY,EY,DYEY(EY)；6636339(5)151P{Z1},P{Z0},P{Z2}。99320.已知(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)c(xy),0x2,0y10,else，求：(1)常数c；(2)关于变量X的边缘概率密度函数fX(x)；(3)E(XY)。解：(1)21211f(x,y)dxdydxc(xy)dycxdx2cc3c1c；00023(2)1111(xy)dyx,0x2f(x)f(x,y)dy3320X0,else；(3)116212E(XY)(xy)f(x,y)dxdydx(xy)dy。009321.设(X,Y)的概率密度函数为：f(x,y)Axy,0x1,0yx0,else，(1)求A；(2)求(),()fxfy；XY(3)判断X,Y是否独立；(4)求1PY,PXY1；2(5)求cov(X,Y)。解：(1)1xAdxAxydy1A8；008(2)f(x)f(x,y)dyXx038xydy4x,0x1，0,else6f(y)f(x,y)dxY128xydx4y(1y),0y1y；0,else(3)f(x,y)fX(x)fY(y)X,Y不独立；(4)11513PX4xdx，121621/21y1PXY1dy8xydx；0y6(5)4844EX,EY,E(XY),cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)。5159225四．中心极限定理22.某种电器元件的寿命服从指数分布E(0.01)（单位：小时），现随机抽取16只，求其寿命之和大于1920小时的概率。16解：设第i只电器元件的寿命为X(i1,2,,16),则E(X)100,D(X)10000。令iiiXX，ii1则EX1600,DX160000。由中心极限定理得X160019201600PX1920P0.81(0.8)0.2119。16000040023.生产灯泡的合格率为0.8，记10000个灯泡中合格灯泡数为X，求(1)E(X)与D(X)；(2)合格灯泡数在7960~8040之间的概率。解：(1)X~B(10000,0,8),E(X)100000.88000,D(X)100000.80.21600；(2)由中心极限定理得P7960X8040p7960408000X8000408040800040(1)(1)2(1)10.6826。24.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从这批木柱中随机地取100根，问至少有30根短于3m的概率是多少？解：设这100根木柱中短于3m的个数为X，则X~B(100,0.2),EX1000.220,DX1000.20.816；由中心极限定理得XEX3020PX30P2.51(2.5)0.0062。DX1625.某单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话相互独立，设每时刻每个分机有0.05的概率要使用外线通话。问总机至少需要多少外线才能以不低于0.9的概率保证每个分7机要使用外线时可供使用?解：设至少需要k条外线。使用外线的分机数X~B(200,0.05)，EX2000.0510,DX2000.050.959.5。由中心极限定理得：PXkPXEXk10k10DX9.59.526.k100.119.k13.9452。五．抽样分布2.从一批零件中抽取6个样本，测得其直径为1.5,2,2.3,1.7,2.5,1.8，求2x,s。解：661122xx1.9667,s(xx)0.1427。ii65i1i13.设X1,X2是来自正态总体N(0,9)的简单随机样本，已知2Ya(X1X)服从22分布，求a。解：2XXXX112122XX~N(0,18)~N(0,1)~(1)a。121818184.总体X~N(72,100)，(1)对容量n50的样本，求样本均值X大于70的概率；(2)为使X大于70的概率不小于0.95，样本容量至少应为多少？解：(1)7072X~N72,2,P(X70)11(2)(2)0.92；2(2)1007072nnX~N72,,P(X70)110.95nn55100/n51.64567.65n。5.设X1,X2,,X10取自正态总体N(0,0.09)，求102PX1.44。ii1n2(X)ii1n2解：由于~()，故1022P{Xi1.44}P{(10)16}0.1。i12827.设X1,X2,,Xn来自总体2X~N(,)，2S为样本方差，求ESDS。2,22,2解：222(n1)S2222~(n1),E(S)E(n1)(n1),2n1n1244222D(S)D(n1)2(n1)2n1(n1)n1。六．参数估计0.12设随机变量X~B(n,p)，其中n已知。X为样本均值,求p的矩估计量。解：EXnpXp?Xn。1,x10.13设总体X的概率密度函数为：f(x)1，其中是未知参数，