九章算术

六组三强韩赵魏，九章勾股弦——数学读书交流展示聂志凯三强韩赵魏，九章勾股弦1953年，中国科学院由著名科学家钱三强带队出国考察，赵九章等科学家在途中谈古论今，数学家华罗庚见景生情，说出了这副对联。这副对联的巧妙就在于“三强”是双关语——既指春秋时期的韩赵魏，又暗指钱三强；而下联“九章”既是古代论述勾股弦原理的数学著作，又隐切了赵九章的名字，真是天造地设的一副对子。九章算术起源：多数认为在西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，但其中有些内容可以追随到周代。作者：《九章算术》作者不祥，多认为是先秦至西汉中的长时间里经众多学者编纂，修改而成的一本书。《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本•《九章算术》分为九章。它们的主要内容分别是：•第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。•第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术。•第三章“衰分”：比例分配问题。•第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；介绍了开平方、开立方的方法。第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法。第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。•第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。•第八章“方程”：一次方程组问题。第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。2、比例算法：在《九章算术》粟米、衰分、均输诸章集中讨论比例问题。并提出“今有术”作为解决各类比例问题的基本方法。今有术相当于我们现在的则其中a称为所有率，b称为所求率，c称为所有数，x称为所求数。xcba::abcx一、算法方面1、分数四则运算法则：在《九章算术》“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则。3、盈不足术：“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通过两次假设来求繁难算术问题的解的方法。《九章算术》中典型的盈亏类问题：今有共买物，人出八盈三；人出七不足四。问人数、物价各几何？答曰：七人，物价53钱。盈不足术也可以用来解决不属于盈亏类的问题。二、代数方面1、方程术：即线性联立方程组的解法。题目：今有上禾（上等黍米）三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下实一秉各几何？解：设上中下禾各一秉打出的粮食分别为x，y，z斗则解方程组263234323923zyxzyxzyx432414419，下禾，中禾可得：上禾不过在《九章算术》中没有表示未知数的符号，而是用算筹将x，y，z的系数和常数项排列成一个方阵，消元的过程想当于现在矩阵中的初等变换。2、正负术在《九章算术》的“方程术”中，当用遍乘直除算法消元（即用加减消元法解一次方程组）时，可能出现减数大于被减数的情形，于是在“方程”章中提出了正负术，即正、负数的加减运算法则。法则：同名（同号）相除，异名（异号）相益，正无入负之，负无入正之，其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。也就是我们现在用的正负数和零之间的运算，前四句为减法法则，后四句为加法法则。3、开方术《九章算术》“少广”章有“开方术”和”开立方术”，给出了开平方和开立方的算法。开方术本质上是一种减根变换法，开创了后来开更高次方和求高次方程数值解之先河。《九章算术》开方术实际上包含了二次方程的数值求解程序，称为“开带从平方法”。而且在《九章算术》中还指出了存在有开不尽的情形：若开之不尽者，为不可开。cbxx2三、几何方面《九章算术》中方田，商功，勾股三章处理几何计算，其中“方田”讨论面积问题，多与农田测量有关。“商功”讨论体积计算，主要涉及工程土方计算。“勾股”则是关于勾股定理的应用。《九章算术》给出的所有直线型的面积，体积的公式都是正确的。例如：abcd图（1)上下底为长方形的棱台abchl图（2）三个侧面为梯形的楔形体羡除（图2）体积公式为：hlcbav)(61])2()2[(6cbdadbhv刍童（图1）体积公式为在《九章算术》中圆的面积为是正确的，但以3为圆周率，失诸粗疏。而且在“开立圆术”中相当于给出球的体积公式为（D为直径），这是不正确的。2RA2163DV与欧几里得《原本》中将代数问题几何化相反，《九章算术》中将几何问题算术化和代数化。如下题：今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何?在“勾股”章中的解法相当于解一个二元一次方程答案：小城的边长为250步71000342xx历史影响：1、《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作。2、其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造。3、“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，4、《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则。5、现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．