材料力学第03章(扭转)-06

§3–1扭转的概念和实例§3–2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图§3–3纯剪切§3–4圆轴扭转时的应力§3–5圆轴扭转时的变形§3–7非圆截面杆扭转的概念第三章扭转工程实例§3–1扭转的概念和实例变形特点：杆件各截面绕轴线发生相对转动。MeMe轴：工程中以扭转为主要变形的构件称为轴。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。受力特点：在垂直于杆件轴线的平面内作用有力偶。§3–2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图MeMe已知：轴的传递功率P（kW）、转速n（r/min），求：外力偶矩Me（N•m）一、传动轴的外力偶矩m)(N9549enPM其中：P—功率，千瓦（kW）n—转速，转/分（r/min）二、扭转时的内力——扭矩MeMeMexTMeT构件受扭时，横截面上的内力为力偶，称为扭矩，记作“T”。扭矩的正负规定：以右手螺旋法则，沿截面外法线方向为正，反之为负。,0xM取左段：取右段：0eTMMeTx0eMT,0xMeMTeMTMexT三、扭矩图已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮C输入P1=500kW，从动轮A、B、D输出P2=P3=150kW，P4=200kW，试作扭矩图。解:(1)计算外力偶矩nPM119549m)(kN78.432MMm)(kN37.64MnABCDM2M3M1M4[例1]m)15.9(kN3005009549m)(N1015.93112233(2)求扭矩,0xMAM2T11-1截面：21MT（扭矩按正方向假设）nABCDM2M3M1M4021MTmkN78.4,0322MMT2-2截面：)(322MMT)78.478.4(ABM2M3T2112233mkN56.9,0xMnABCDM2M3M1M4,034TM3-3截面：mkN37.643MTDM4T3,0xM112233nABCDM2M3M1M4(3)绘制扭矩图xT4.789.566.37–（kN·m）112233nABCDM2M3M1M4mkN37.63TmkN56.92TmkN78.41TmkN569max.TBC段为危险截面：薄壁圆筒：壁厚0101rt（r0：为平均半径）观察变形：1.加载前：纵向线为直线，周向线为圆；§3–3纯剪切2.加载后：纵向线倾斜了一微小角度，变成斜直线；一、薄壁圆管扭转应力分析MeMe周向线仍是圆，圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。MeMe应力分布规律：横截面上无正应力，只存在切应力；切应力的方向与圆周相切，与内力T一致；切应力沿壁厚方向的数值不变；沿圆周切应力的大小也不变。τTTAdAArTd0trT220trr002tAT20式中A0为中线所围面积·dAdA计算切应力τ的大小：0rAT二、切应力互等定理MeMedxdxdxdytzxy上式称为切应力互等定理。,0zMyxtdd,0xF0dxtdxtdxdytzxy该定理表明：在两个相互垂直的面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向为共同指向或共同背离该交线。0ddxyt三、剪切胡克定律：三、剪切胡克定律：——切应变(量纲为1)MeMeττττ剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（≤p)，切应力与切应变成正比关系。τp当时pG——剪切胡克定律剪切弹性模量G、弹性模量E和泊松比μ是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。)1(2EGG是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因的量纲为1，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。G一、横截面上的应力§3–4圆轴扭转时的应力RlMeMe找出各薄壁圆管之间的变形关系一、横截面上的应力§3–4圆轴扭转时的应力观察变形：RldxMeMe纵向线倾斜了一微小角度，变成斜直线；周向线仍是圆，圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。平面假设：横截面变形后仍为平面；1.变形几何关系：ldxMeMeACBDdxBADCOdRABCC´DREFGHdxOOD´G´H´ddxBADCOdtanxddACCCxRddxdd——扭转角沿长度方向变化率。ABCC´DREFGHdxOOD´G´H´dtanEGGGxddD´CC´DEFG2.物理关系：剪切虎克定律：GxGddxGdd切应力在横截面上的分布3.静力学关系：TAIAd2p记xGITddppddGITx即：代入物理关系式xGddOTAxGAddd2AxGAddd2pIT得：Ip横截面的极惯性矩xGdd代入AdAdA4、应力分布（实心截面）（空心截面）pIT最大切应力：,2时当dRpmax2IdTtmaxWTWt称为抗扭截面系数，几何量，单位：mm3或m3。2ptdIW记：2pmaxdIT或：maxAIAd2p（1）实心圆截面：CdxyddAAIdd2p20203ddd2032dd324pdIdddA二、极惯性矩和抗扭截面系数的计算：02442d(2)空心圆截面：)(DdDxyCd20223ddDd223d2Dd323244dD)1(3244pDIAIAd2p22442dD)1(32444DdD163tdW)1(1643tDW实心圆截面：空心圆截面：2ptdIW2324dd2)1(3244tDDW抗扭截面系数Wt三、扭转破坏试验低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。强度条件：][max][tmaxmaxWT([]称为许用切应力。)四、圆轴扭转时的强度计算nb][ns][塑性材料脆性材料d1=120mm，d2=100mm，mA=22kN·m，mB=36kN·m，mC=14kN·m，许用剪应力[]=80MPa,试校核强度。解:(1)画扭矩图∴此轴满足强度要求。1t11maxWT[例2]T22x14(kN·m)–+mAmBmCd1d2ABC][MPa65（2）AB段的强度16120102236（3）BC段的强度2t22maxWT][MPa7116100101436有一根轴，T=1.5kN·m，[]=50MPa,按两种方案确定轴截面尺寸，并比较重量：（1）实心轴；（2）=0.9的空心轴。解：（1）实心轴tmaxWT[例3]][163dT3][16Td)mm(5.53（2）空心轴tmaxWT)1(16431DT][341)](1[16TD)mm(76119.0Dd（3）比较重量实空AA4422121ddD）（22121ddD385.0实心轴的重量是空心轴的3倍。)mm(7.68实心截面空心截面53.568.776.3一、扭转时的变形pGITxddd§3–5圆轴扭转时的变形mmdxlGIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。xGITpddlpxGIT0dpIGlT即：（rad）lpxGIT0dpGIlTpiiiIGlT即：当轴上作用有多个力偶时，进行分段计算，代数相加：M2M1M3lABlACABC已知：M1=1632N·m，M2=995N·m，M3=637N·m，lAB=300mm，lAC=500mm，d=70mm，G=80GPa。试求截面C对B的扭转角。解：12mN99521MTmN63732MT32421dIIPP3270446mm1035.2piiiCBIGlT222111ppIGlTIGlT[例4]CB222111ppIGlTIGlT10.35210083001099563310.35210085001063763310)69.152.1(3(rad)1017.03(rad)M3M2M1lABlACABC二、刚度条件/m)(180maxpGIT(rad/m)pGITl/m)(180pGIT或：刚度条件：单位长度扭转角：[]称为许可单位长度扭转角，取0.15~0.30º/m。某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率P1=368kW，输出功率分别P2=147kW及P3=221kW，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1(º)/m，试确定：[例5]（1）AB段直径d1和BC段直径d2；（2）若全轴选同一直径，应为多少？（3）主动轮与从动轮如何安排合理？500400M1M3M2ACB解：由功率和转速计算外力偶矩(kN·m)Tx7.0244.21扭矩图如图所示，m)7024(N954911nPMm)(N2814954922nPMm)(N4210954933nPM500400M1M3M2ACB][1631111maxdTWTtmm80由刚度条件得：由强度条件得：311][16Td(1)AB段：][18011pGIT][18032411dGT∴4211][18032GTd即：mm84所以AB段直径d1≥84mmTx7.0244.21(kN·m)43326101108014.318010024.732][1632222maxdTWTtmm4.67由刚度条件得：由强度条件得：322][16TdBC段：][18022pGIT][18032422dGT∴4222][18032GTd即：mm4.74所以AB段直径d2≥75mmTx7.0244.21(kN·m)43326101108014.31801021.432(2)全轴选同一直径时mm84d(3)轴上的扭矩绝对值越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。Tx7.0244.21(kN·m)Tx4.21(kNm)2.814+－500400M1M3M2ACB500400M1M3M2BCA换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径为75mm。非圆截面杆：平面假设不成立。各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。§3–7非圆截面等直杆扭转的概念翘曲自由扭转约束扭转矩形杆横截面上的切应力:切应力分布如图：1.周边上的切应力与周边相切；bhT2.四个角点的切应力为零；3.最大切应力发生在长边中点。max1最大切应力及单位扭转角max12maxhbT3hbGTl、、的值与比值h/b有关，见P96（表3-2）由《弹性力学》分析得：bhTmax1四个角点的切应力为零hT由切应力互等定理得到31;)10:(bh即对于狭长矩形