初等解析函数及其基本性质

§2初等解析函数及其基本性质一、基本初等函数1.指数函数yiyezxsincosexp加法定理2121expexpexpzzzz。zezexp，即yiyeeeeexyixyixzsincos。周期性ze是周期为Zkik2的周期函数。2.对数函数定义2满足0zzew的函数zfw称为复变量z的对数函数，记为Lnzw。关于Lnzw的表达式：令irezivuw,，则kvrereeeeuiivuivu2,，即Argzvzru,lnln。从而iArgzzLnzln——定义式。注：Lnz是多值函数，Argz是多值函数。当Argz取主值zarg时，Lnz为单值函数，称其为Lnz的主值，记为zln，即zizzarglnlnikzLnz2ln或ikzizLnz2argln——计算式。注：当0xz时，xxixzlnarglnln——实对数函数。例2证明对数运算性质：⑴2121LnzLnzzLnz；⑵2121LnzLnzzzLn。证明⑴由对数定义表达式，212121lnziArgzzzzLnz2121lnArgzArgzizz2211lnlniArgzziArgzz21LnzLnz；同理可证⑵式。例3求iLn2321,3ln及主值。解ii3ln213arg3ln3ln；ikiiiiLn22321arg2321ln2321ikiki3122321ln；主值：iii32321ln2321ln。由Lnz的表达式，容易知道，有分析性质：Lnz在除原点及负实轴的平面内连续且解析。ikzizLnz2argln，而zarg在原点及负实轴上不连续，即Lnz在除原点及负实轴的平面内连续。又在除原点及负实轴的平面内，zwezwln,有定义且互为反函数，有求导法则，zedzzdwdwdew111ln.Lnz在除原点及负实轴的平面内解析。从而，应用对数函数Lnz时，皆指其除原点及负实轴的平面内的某一分支。3.复数乘幂ba及其计算定义3复数ba,构成的乘幂：bLnabea，其中0a。可以分析讨论知道，其取值情况有：⑴当次幂Zb为整数时,ba有唯一值；bLnabeaabibkabibkabikabeeeeeln2ln2ln2ln。⑵当次幂Qqpb为有理数时,ba有q个不同的值；bLnabeakaqpiaqpikaiaqpeee2argln2arglnqkapiqkapeaqp2argsin2argcosln当1,,2,1,0qk时，由正、余弦的周期性，得到ba的q个不同值。⑶当次幂b为无理数或虚数时,ba有无穷多值.例3计算下列复数乘幂：⑴11；⑵321i；⑶i12。解⑴11,2,1,02sin2cos221ln111kkikeeekiikLn.⑵321iiLnei1323213422ln31242ln32kikieee,2,1,0kiii3416sin6cos2133032；iii33132223sin23cos21；iii341617sin617cos2133232。⑶i122ln222ln22ln121kikikiLnieee2ln2sin2ln2cos22lnkikek,2,1,02lnsin2lncos22lnkiek.二、简单初等函数1.一般幂函数与指数函数定义4Lnzez；zLnazea。性质由对数性质决定。2.三角函数sincos,sincosieieiiieeeeiiii2sin,2cos，其中R定义5正弦函数：ieeziziz2sin；余弦函数：2cosizizeez。例4求值：i2cos.解i2cos2cosh222222eeeeiiii.容易证明：zzcos,sin具有与实函数xxcos,sin相同的周期性、奇偶性、可导(解析)、加法公式、平方关系等性质(见教材)。但是，不具有有界性：0x时，22sinyyyyeeiieeyi，2cosyyeeyi。当zy时，yiyicos,sin.定义6zzzzzzzzzsin1csc,cos1sec,tan1cot,cossintan.相应的一些运算性质见教材.3.反三角、反双曲函数定义7满足wzsin的复变量w称为z的反正弦函数，记为zArcwsin。依据定义，可以求得：21sinziziLnzArc.同理，可以定义并可求得：yznCξkzkz0zk-1Ox1cos2zziLnzArc;izizLnizArc112tan;4.双曲与反双曲函数函数定义8双曲正弦：2sinhzzeez；双曲余弦：2coshzzeez；双曲正切：zzzcoshsinhtanh.及其反双曲函数：1sinh2zzLnzAr;1cosh2zzLnzAr；zzLnzAr1121tanh.注:它们均为多值函数.第三章复变函数的积分§1积分的概念及性质一、概念及其存在性1.引言一元函数定积分badxxf，是函数沿一直线段ba,上的积分。因为函数xf就定义在数轴——直线上，而复函数zf定义在平面上。推广定积分于复函数，考虑一般性，复积分应为平面上沿一曲线段的积分。2.定义设有向曲线fDC，任意分C成n段，分点为：nzzzz,,,,210任取kkkzz1,作和nkkknkkkknzfzzfS111,记knkz1max，若nS0lim总存在，则称其值为zf沿曲线C的积分，记为y(3,1)13O1xCdzzf。若C为封闭曲线，则记为Cdzzf(复变函数主要研究和确定闭曲线的积分)。注:复积分实质上类似于高等数学中的平面为(二型)曲线积分。2.可积性及其参数计算公式定理若zf连续，则⑴Cdzzf存在，且CdzzfivdyudxCCudyvdx；⑵设:,ttzzCdzzfdttztzf。证明（描述性）⑴CdzzfCidydxivuCudyvdxivdyudxivdyudxCCudyvdx；⑵Cdzzfdttyitxtivtu借高数二型线积分的基本计算。例1计算CdzzRe,其中C为从点1到点i3的直线段.解直线段C方程tyx1021：121210:,12tititzttytx，从而，原式ittidtit24221210210。例2设C为由点2z沿2z的上半圆周到点2z的曲线段,求Cdzzz.解ieizyx2sincos2sin2cos2，即2ziez2，此时，iez2；这里0:，-22于是，原式0302222deiideeeiiii3413232303iiee。例3计算Ckzzdz0Zk，其中C：rzz0，方向逆时针。解圆周C的方程：20:,0irezz，从而，原式2011201deriidreerkiniinn，当1n时，原式i2；当1n时，原式0111111212011iknkinerneniri，于是，.1,0,1,200nnizzdzrzzk二、性质1.线性：CdzzgzfCdzzfCdzzg；2.可加性：若21CCC，则Cdzzf1Cdzzf2Cdzzf；3.反对称性：CdzzfCdzzf；4.若L为曲线C的长度，且Mzf，则CdzzfMLdszfC。证明1.2.3.显然，4.的证明利用积分定义见教材。§2柯西——古萨定理及其应用一、引理与基本定理1.引理若zf在单连域D内解析,且zf连续,则对任意简单闭曲线DC,有：0Cdzzf。证明ivuzf解析,且zf连续，xvyuyvxu,且它们均连续。从而，由格林公式，CdzzfivdyudxCCudyvdx000DDdxdyyvxuidxdyyuxv。推论若zf在一条简单闭曲线C的内部及C上解析，则0Cdzzf。例1计算Cizdzze12，其中曲线C为正向圆周：13iz。解奇点iz不在闭曲线C内，在C内，被积函数zf解析，从而，Cizdzze12=0。2.柯西——古萨基本定理sGC'定理若zf在单连域D内处处解析，则对任意闭曲线DC,有：0Cdzzf。