自动控制-控制系统的稳定性分析

第五节控制系统的稳定性分析一、系统稳定的充分与必要条件稳定性：传递函数的一般表达式：Ф(s)==b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bma0sn+a1sn-1+···+an-1s+anR(s)C(s)n≥m·C(s)=1sK0(s–z1)(s–z2)···(s–zm)(s–s1)(s–s2)···(s–sn)系统输出拉氏变换：系统受外作用力后,其动态过程的振荡倾向和系统恢复平衡的能力。r(t)t0c(t)稳定不稳定A0=ss-s1+A1Ans-sn+…+系统单位阶跃响应：c(t)=A0+A1es1t+…+Anesnt稳定的系统其瞬态分量应均为零。即：limesit→0t→∞系统稳定的充分与必要条件：系统所有特征根的实部小于零,即特征方程的根位于S左半平面。二、劳斯稳定判据根据稳定的充分与必要条件,求得特征方程的根,就可判定系统的稳定性.但对于高阶系统求解方程的根比较困难。第五节控制系统的稳定性分析劳斯稳定判据是根据闭环传递函数特征方程式的各项系数,按一定的规则排列成劳斯表，根据表中第一列系数正负符号的变化情况来判别系统的稳定性。下面具体介绍劳斯稳定判据的应用。根据特征方程的各项系数排列成劳斯表：设系统的特征方程为a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0a0a2a4…a1a3a5…b42sn-3……………s0snsn-1sn-2b31b32b33b31=a1a2-a0a3a1b41b32=a1a4-a0a5a1b41=b31a3-b32a1b31b42=b31a5-b33a1b31b43……bn+1第五节控制系统的稳定性分析系统稳定的条件：(1)特征方程式各项系数都大于零。(2)劳斯表中第一列元素均为正值。第一列元素符号改变的次数等于不稳定根的个数。例已知系统的特征方程，试判断该系统的稳定性。解：s4+2s3+3s2+4s+5=0劳斯表如下：135s1s0s4s3s2b31b32b41b5124b31=2*3-1*42=11b32=2*5-1*02=55b41=1*4-2*51=-6-6b51=-6*5-1*0-6=55有两个正实部根，系统不稳定。第五节控制系统的稳定性分析例系统如图所示，试确定系统稳定放大倍数K的取值范围。Ks(0.1s+1)(0.25s+1)-R(s)C(s)闭环传递函数Ф(s)=s(0.1s+1)(0.25s+1)+KK特征方程:s3+14s2+40s+40K=0第五节控制系统的稳定性分析解：劳斯表:140s3s21440Ks1b31b31=14*40-1*40K14s0b4140K系统稳定的条件:0560-40K040K014K0如果劳斯表中某行的第一个元素为零，表示系统中有纯虚根，系统不稳定。第五节控制系统的稳定性分析下面举例说明:该行中其余各元素不等于零或没有其他元素，将使得劳斯表无法排列。此时，可用一个接近于零的很小的正数ε来代替零，完成劳斯表的排列。例已知系统的特征方程，试判断系统的稳定性。劳斯表为:系统有一对纯虚根s3+2s2+s+2=0解：11s3s222s1b31=0εs0b412通过因式分解验证:s3+2s2+s+2=0(s+2)(s2+1)=0s1=-2s2.3=±j第五节控制系统的稳定性分析b31=2*1-2*12(ε)=2b41=-2*02*εε不稳定例已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定方程的根在s平面上的分布。解：s3-3s+2=0方程中的系数有负值，系统不稳定。劳斯表为:1-3s3s202s1b31b31=s0b412ε通过因式分解验证:s3-3s+2=(s-1)2(s+2)=0s1.2=1s3=-2第五节控制系统的稳定性分析-∞ε-2-3εε→0b31→-∞=-∞第一列元素的符号变化了两次,有一对不稳定根。如果劳斯表中某一行的元素全为零，表示系统中含有不稳定的实根或复数根。系统不稳定。第五节控制系统的稳定性分析下面举例说明:此时，应以上一行的元素为系数，构成一辅助多项式，该多项式对s求导后，所得多项式的系数即可用来取代全零行。同时由辅助方程可以求得这些根。例已知控制系统特征方程,判断系统稳定性。由为零上一行的元素组成辅助多项式：s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0解：劳斯表为:182016s6s521216s42s301612P(s)=2s4+12s2+16dP(s)ds=8s3+24s代入0824s21668/3s1s016劳斯表中某行同乘以某正数，不影响系统稳定性的判断。系统有虚根,不稳定。第五节控制系统的稳定性分析三、结构性不稳定系统的改进措施调整系统的参数无法使其稳定，则称这类系统为结构不稳定系统。Ks2(Ts+1)-R(s)C(s)如：Ф(s)=Ts3+s2+KK闭环传递函数：Ts3+s2+K=0特征方程是式：由于特征方程中少了s项，无论K取何值系统总是不稳定。第五节控制系统的稳定性分析解决的方法有以下两种：1．改变环节的积分性质积分环节外加单位负反馈,系统结构图为:Ks(Ts+1)-R(s)1s-C(s)G(s)=s(Ts+1)(s+1)K1s+1=第五节控制系统的稳定性分析11+s1sC(s)R(s)=s(Ts+1)(s+1)+KK系统的闭环传递函数为特征方程式:Ts3+(1+T)s2+s+K=0劳斯表:T1s31+TKs2s1Ks01+T-TK1+T系统稳定的条件1+T-TK0K0K01+TT2．加入比例微分环节系统中加入比例微分环节结构图系统的闭环传递函数:第五节控制系统的稳定性分析Ks2(Ts+1)R(s)τs+1-C(s)G(s)=)(Kτs+1s2(Ts+1)Ф(s)=Ts3+s2+Ks+1)K(s+Kττ劳斯表:s3TKτ1Ks2s1K(-T)τKs0系统稳定的条件:K0-T0τ即TτK0精品课件！精品课件！作业习题：3-11(1)(3)3-14第五节控制系统的稳定性分析返回3-13