正项级数及其审敛法

一、正项级数及其审敛法1.定义:，中各项均有如果级数01nnnuu这种级数称为正项级数.nsss212.正项级数收敛的充要条件:定理.有界部分和所成的数列正项级数收敛ns部分和数列为单调增加数列.}{ns第二节常数项级数的审敛法且),2,1(nvunn,若1nnv收敛,则1nnu收敛；反之，若1nnu发散，则1nnv发散.证明nnuuus21且1)1(nnv设,nnvu,即部分和数列有界.1收敛nnu均为正项级数，和设11nnnnvu3.比较审敛法nvvv21nns则)()2(nsn设,nnvu且不是有界数列.1发散nnv推论:若1nnu收敛(发散)且))((nnnnvkuNnkuv,则1nnv收敛(发散).定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.例1讨论P-级数ppppn14131211的收敛性.)0(p解,1p设,11nnp.级数发散则P,1p设oyx)1(1pxyp1234由图可知nnppxdxn11pppnns131211nnppxdxxdx1211npxdx11)11(1111pnp111p,有界即ns.级数收敛则P发散时当收敛时当级数,1,1ppP重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.例2证明级数1)1(1nnn是发散的.证明,11)1(1nnn,111nn发散而级数.)1(11nnn发散级数4.比较审敛法的极限形式:设1nnu与1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若1nnv发散,则1nnu发散;,limlvunnnl00ll1nnv1nnu证明lvunnnlim)1(由,02l对于,N,时当Nn22llvullnn)(232Nnvluvlnnn即由比较审敛法的推论,得证.设1nnu为正项级数,如果0limlnunn(或nnnulim),则级数1nnu发散;如果有1p,使得npnunlim存在,则级数1nnu收敛.5.极限审敛法：例3判定下列级数的敛散性:(1)11sinnn;(2)131nnn;解)1(nnnn3131limnnn11sinlim,1原级数发散.)2(nnn1sinlimnnn311lim,1,311收敛nn故原级数收敛.6.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)：设1nnu是正项级数,如果)(lim1数或nnnuu则1时级数收敛;1时级数发散;1时失效.证明,为有限数时当,0对,N,时当Nn,1nnuu有)(1Nnuunn即,1时当,1时当,1取,1r使,11NmmNuru,12NNruu,1223NNNurruu,,111mNmur收敛而级数,11收敛NnummNuu收敛,1取,1r使,时当Nn,1nnnuruu.0limnnu发散比值审敛法的优点:不必找参考级数.两点注意:1.当1时比值审敛法失效;,11发散级数例nn,112收敛级数nn)1(,232)1(2nnnnnvu例,2)1(211收敛级数nnnnnu,))1(2(2)1(211nnnnnauu但,61lim2nna,23lim12nna.limlim1不存在nnnnnauu2.条件是充分的,而非必要.例4判别下列级数的收敛性:(1)1!1nn;(2)110!nnn;(3)12)12(1nnn.解)1(!1)!1(11nnuunn11n),(0n.!11收敛故级数nn),(n)2(!1010)!1(11nnuunnnn101n.10!1发散故级数nnn)3()22()12(2)12(limlim1nnnnuunnnn,1比值审敛法失效,改用比较审敛法,12)12(12nnn,112收敛级数nn.)12(211收敛故级数nnn7.根值审敛法(柯西判别法)：设1nnu是正项级数,如果nnnulim)(为数或,则1时级数收敛;,1,1nnn设级数例如nnnnnu1n1)(0n级数收敛.1时级数发散;1时失效.二、交错级数及其审敛法定义:正、负项相间的级数称为交错级数.nnnnnnuu111)1()1(或莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:(ⅰ)),3,2,1(1nuunn;(ⅱ)0limnnu,则级数收敛,且其和1us,其余项nr的绝对值1nnur.)0(nu其中证明nnnnuuuuuus212223212)()(又)()()(21243212nnnuuuuuus1u,01nnuu.lim12ussnn,0lim12nnu,2是单调增加的数列ns,2是有界的数列ns)(limlim12212nnnnnuss,s.,1uss且级数收敛于和),(21nnnuur余项,21nnnuur满足收敛的两个条件,.1nnur定理证毕.例5判别级数21)1(nnnn的收敛性.解2)1(2)1()1(xxxxx)2(0x,1单调递减故函数xx,1nnuu1limlimnnunnn又.0原级数收敛.三、绝对收敛与条件收敛定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定理若1nnu收敛,则1nnu收敛.证明),,2,1()(21nuuvnnn令,0nv显然,nnuv且,1收敛nnv),2(11nnnnnuvu又1nnu收敛.上定理的作用：任意项级数正项级数定义:若1nnu收敛,则称1nnu为绝对收敛;若1nnu发散,而1nnu收敛,则称1nnu为条件收敛.例6判别级数12sinnnn的收敛性.解,1sin22nnn,112收敛而nn,sin12nnn收敛故由定理知原级数绝对收敛.思考题设正项级数1nnu收敛,能否推得12nnu收敛?反之是否成立?