曹凤山---直线的参数方程教学设计与设计分析

关注数学核心素养追求本质合理自然杭州市余杭高级中学曹凤山一内容与内容解析
本课是《普通高中课程标准数学教科书•数学选修4-4》(人教A版)第二讲“参数方程”第三节的第一课时.这节课在课型上属于概念课，教学过程中既要学习直线的参数方程的有关知识，会利用直线的参数方程解决关于弦长、点坐标、线段比、线段乘积等问题，更要注重概念的引入、概括、理解与应用，领悟直线的参数方程推导过程中的化归与转化、数形结合等数学思想方法，从本质上理解参数的几何意义.从本节课的内容特点分析，学习过程中历经发现问题提出问题，建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，探索和表述论证过程，获得数学概念和规则，建立数学模型，形成数学方法，这些体验正是数学抽象、逻辑思维、数学建模、数学运算以及直观想象等数学核心素养提升的绝佳素材.二学情与学情分析从知识上看，学生前面已经学习过参数方程的概念，普通方程与参数方程的互化，圆、椭圆、双曲线、抛物线等的参数方程，体验了参数方程在解决问题中一些应用，对参数方程在求轨迹与解题方面的优越性有了一定的体验；从方法上看，关于参数方程中参数的选择，圆的参数方程中参数是先从物理意义引入，再阐明其几何意义，抛物线的参数选择有两个方向，首先在参数方程的引例中从物理意义引入，在后面抛物线参数方程专题中，又得到了两种几何意义上的参数，直线参数方程中参数的选定对学生相当困难，虽然可以根据确定直线的几何条件联想到向量，但是，如何建立联系仍然是难点，特别是对单位向量的引入没有多少知识准备.授课对象为广东省中山市第一中学学生，据了解学生素质很好，但由于师生之间不熟悉，学生的思维习惯、学习习惯不清楚，问题需要更明晰、指向更明确.三教学目标设计根据背景分析与《课程标准》的要求，作为第一课时，确定这节课的教学目标如下：1．通过确定直线的几何条件，引导学生利用向量工具建立直线参数方程的意识，培养数学建模的素养；2．从一般到特殊，在数轴上理解直线的参数方程中参数的几何意义；从特殊到一般，得到直线的参数方程，在参数方程推理过程中，提升数学抽象、数学建模以及逻辑推理的核心素养；3．会求解直线上两点间的距离，直线上某些特殊点所对应的参数，体会参数方程相对于普通方程的优越性，提升数学运算素养；根据以上背景分析与目标分析，确定本节课的教学重点与教学难点如下：教学重点：直线的参数方程中参数的选择，参数的几何意义及参数方程的简单应用；教学难点：直线参数方程中参数的选择、几何意义的理解以及直线单位方向向量的确定.四教学设计思路与教法分析按照问题提出--探索发现--应用回顾的顺序，学习知识的过程中，体验从一般到特殊，从特殊到一般探索、解决问题的途径，在数形结合、转化与化归的过程中，在提出问题、解决问题的过程中，提升学生利用数学知识分析问题、解决问题的能力，提升数学素养，提高综合利用知识解决问题的能力.教学方法：讲授与启发法.五教学过程设计1．引出问题激发兴趣引子：前面已经学习了圆、椭圆以及双曲线等的参数方程及其应用，我们发现利用参数方程，一方面便于建立一些曲线的轨迹方程，另一方面，在思路的自然、运算的简捷等方面具有一定的优越性，但是，还有一个我们很熟悉的老朋友没有出场，那就是直线.我们这节课就一起探讨，看看它的参数方程是什么，它的的参数方程又能给我们带来哪些惊喜！【设计意图】联系前面的知识，回忆有关内容，激发学习兴趣.在解析几何部分学生对运算是谈虎色变，对于可以减少运算量的方法往往比较关注，明示这节课的学习目标.问题1：确定一条直线的几何条件是什么？【师生活动】教师提出问题，引导学生对本源性的知识回顾.可以是两个点；在平面直角坐标系中归结为两个条件：①定点000(,)Mxy，②倾斜角，教师写出直线的点斜式普通方程00tan()()2yyxx；实际上，还可以有向量视角下的，一个点，一个方向，为直线的参数方程打下基础.【设计意图】通过直线知识的回顾，得到普通方程，回归本源，启发知识联想，为利用向量解决参数方程问题做好铺垫；三种确定直线的视角对学生是知识的回顾，也反映出人类认识、研究几何对象的不同视角与方法的改变，反映出人类对数学对象认识的不断发展与改进.问题2：什么是过点000(,)Mxy，倾斜角为的直线的参数方程，求直线的参数方程需要做什么？【师生活动】学生在学习参数方程的基础上，根据自己的理解，回答直线的参数方程概念.教师画出过点000(,)Mxy，倾斜角为的直线l，学生讨论、回答，教师引导，对于求直线的参数方程，归纳为两点：①引入参数t，②建立直线上任意一点M的坐标,xy与参数t，常数,,xy00之间的关系；【设计意图】从具体的几何对象提出问题，复习曲线的参数方程的概念，在概念的具体化、转述的过程中聚焦问题，明确问题，理解概念的内涵.追问：按照你的经验，依据确定直线的几何条件，你认为可以从哪些角度选择直线的参数方程中的参数？【师生活动】可以从物理、几何意义角度选择，也可以是没有明显实际意义的量，当然，我们最好选择具有几何意义的量；学生自发或者教师引导；【设计意图】这个问题学生可能会有多种思路，从教学目标出发，可以适度开放，也要注意收与放的关系，保证课堂的效率与探究有效性，突出重点.2．直观想象特殊入手问题3：求过点000(,)Mxy，倾斜角为的直线的参数方程引入什么参数？【师生活动】教师通过几何画板演示点在直线上运动，学生观察、思考、讨论引入何种参数.根据图象，移动点M，发现确定点M坐标的两个因素：0,MM之间的距离，倾斜角：方向----利用向量的工具解决问题.【设计意图】从上面讨论，归结为两个问题，首先是引入参数，而且目标确定为引入具有几何意义的参数，根据几何画板演示，从直观想象，通过尝试，逐步调整参数的性质：距离—一维坐标--数量.追问：当点M在过点0M，倾斜角为的直线上运动时，这时如何确定点M的位置？这时，参数t（坐标）的几何意义是什么？【师生活动】教师提问，利用几何画板隐藏坐标系以及点的二维坐标，只显示一条直线上点的运动，引导学生发现，与数轴很类似，任何一条直线取上面任何一点作原点、单位长度、正方向都可以作为数轴，在数轴上确定点的位置，只要引入一维意义下的坐标t即可.教师再引导从向量角度看数轴：一个原点、一个单位向量；对于参数的几何意义，学生讨论、回答，明确，归纳：①数轴上的坐标；②它的绝对值就是点M到“原点”的距离0MMt！；③有向线段0MM的数量.【设计意图】回到问题本质，点是位置的抽象，点的位置的改变形成“位置差”就是“距离”，但仅仅距离还不能刻画倾斜角为的直线上的点的“位置差”，引入的应该是既有大小又有方向的参数.3．类比推理探索结论问题4：如何确定倾斜角为的直线上的单位向量？如何写出过点000Mx,y)（，倾斜角为的直线的参数方程？【师生活动】作为一维的数轴已经解决问题，回归二维坐标系，只要确定倾斜角为的直线的单位向量.学生讨论，X轴上的单位向量（1，0）逆时针旋转即得到倾斜角为的直线上的单位向量，e=(cos,sin).根据向量共线定理，得到MM=te0，再转化为坐标关系，得到直线的参数方程00cos(sinxxttyyt为参数）【设计意图】关键是得到直线的单位方向向量，通过单位圆把X轴上的单位长度转化为单位向量，从而二维问题转化为一维问题，转化为已经解决的数轴情形.这里学生也可以认识到，直线的参数方程可以理解为平面上两种不同坐标系下的坐标变换，即平面上同一点的一维坐标t与二维坐标(x,y)之间的换算式.问题5：参数t的几何意义是什么？【师生活动】类比数轴，再次明确参数t的几何意义：①0MM=t；②在0MM上，以0M为原点，以e=(cos,sin)为单位向量的“数轴”上的一维坐标；③直线l上有向线段0MM的数量，当(,)0时，sin0，若t0，则0MM方向向上；若t0，则0MM方向向下；若t=0，则M点与0M重合.当0时，若t0，则0MM方向向右；若t0，则0MM方向向左；若t=0，则M点与0M重合.【设计意图】类比数轴突破难点，突出重点，加深对参数的几何意义的直观理解.问题6：直线的参数方程中，哪些是变量？哪些是常量？t的取值范围是什么？【师生活动】学生回答，准确理解参数方程中各个量的含义.【设计意图】明确参数方程的特征，参数方程中的变量、常数、参数以及参数的取值范围，理解直线标准参数方程中各个量的意义，为正确使用打下基础4．对比体验提高兴趣练习：0002(1,2)323sin20cs200o1Mxttlxtmyy（1）设直线过点设直线:，试写，倾斜角为，试写出它出它的一个的一个参数方程;参数方程;（）直线（为参数）的倾斜角是(3)【师生活动】学生练习，体验写出直线参数方程的步骤以及关注的问题.【设计意图】理解直线的参数方程的特征，熟练由直线的几何特征写出直线参数方程的步骤、方法，关注直线标准参数方程的形式特征，为应用直线的参数方程求解问题做铺垫.例1思考：你的求解思路有哪些？不同求解思路之间有哪些差异？【师生活动】学生表述解题思路，利用普通方程求解的情况，直接利用PPT展示过程，利用参数方程求解的思路教师板书解题步骤，书写参数方程首先要确定点M与给定直线的关系，确定直线的参数方程，明确参数的几何意义.【设计意图】巩固对直线的参数方程的理解，特别是参数的几何意义的理解，掌握利用直线的参数方程求解直线与圆锥曲线位置关系问题的思路与方法.通过利用直线的普通方程求解与直线的参数方程求解，从涉及知识点的数量、求解的运算量等角度体验直线的参数方程在解题中的优越性归纳与反思：从例1的求解，你能概括出该类问题哪些一般性的结论？【设计意图】通过具体案例，加深对参数方程中参数几何意义的理解，增强利用直线的参数方程解决问题的意识，由特殊而一般，学会归纳与反思，提升解决问题的能力5．反思成果，引发探究通过学生谈收获，谈困惑，归纳关于直线的参数方程的有关知识，感悟其中涉及的数学思想方法，特别是发现问题、解决问题过程中一般与特殊、分解与组合等处理问题的辩证法思想的应用.6．布置作业与探究问题作业：课本习题2.31，2探究性问题：把参数方程00(,,xxatabRtyybt为参数）转化为普通方程，并确定直线的倾斜角与,ab的关系，并分析该参数方程与我们这节课所学的直线的参数方程的区别与联系【设计意图】加深对直线的参数方程、特别是参数的几何意义的理解，提高利用直线的参数方程求解有关问题的能力，提高解题的灵活性与学习兴趣.同时，通过探究问题的进一步分析，了解直线参数方程的多种形式，在使用参数方程过程中，注意参数方程的标准形式与一般形式的区别与联系.数学核心素养视角下的数学教学设计的思考------以《直线的参数方程（一）》为例核心素养视角下的教学，更强调设计先行.通常的数学教学设计强调知识背景分析、学情背景分析、目标分析、教学重难点分析、教学过程、教学手段分析以及如何发挥学生主体作用等，数学核心素养视角下，教学设计还要重点厘清一下问题.1．核心素养视角下的教学设计是基于数学理解的设计单墫老师说：“数学课首先讲数学”.成功的数学教学设计一定体现教“真数学”，真教数学，体现对数学本质的理解.项武义先生指出：基础数学的本质和基本思想都是平实朴素的，„„，要把基础数学的教学真正做到平实近人、引人入胜，当然还是很有考究的.如对直线的参数方程的研究，不仅仅是知识的学习，还有对几何研究方法与历史的宏观把握，反映在本节课内容上，点、直线都是最“原始”的几何研究对象，对直线的研究经历了实验几何、推理几何、解析几何以及向量几何，人类从定性分析，进入定量研究，解析几何中实现了形与数的和谐统一，对数学发展起到了巨大作用，而向量几何则是不依赖于坐标系的解析几何，是解析几何的返璞归真.有了对直线研究的宏观把握，对教学方向的引导就十分清晰，不是为知识而知识，而是引导研究方法的改变，在学生学习的意义上也是一种创新.在选择直线的参数方程的参数时，可以有多种视角，考虑到课堂效率，还是引导从几何角度选择参数.而参数的选择，也