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学校:___________________________年_______班姓名:____________________学号:________---------密封线---------密封线---------绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国II卷本试卷共23小题,满分150分,考试用时120分钟(适用地区:内蒙古/黑龙江/辽宁/吉林/重庆/陕西/甘肃/宁夏/青海/新疆/西藏/海南)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|x2-5x+60},B={x|x-10},则A∩B=A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)2.设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知AB=(2,3),AC=(3,t),BC=1,则ABBC=A.-3B.-2C.2D.34.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,R,2L点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,2L点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:121223()()MMMRrRrrR.设rR,由于的值很小,因此在近似计算中34532333(1),则r的近似值为A.21MRMB.212MRMC.2313MRMD.2313MRM5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是A.中位数B.平均数C.方差D.极差6.若ab,则A.ln(a−b)0B.3a3bC.a3−b30D.│a││b│7.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面8.若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆2231xypp的一个焦点,则p=A.2B.3C.4D.89.下列函数中,以2为周期且在区间(4,2)单调递增的是A.f(x)=│cos2x│B.f(x)=│sin2x│C.f(x)=cos│x│D.f(x)=sin│x│10.已知α∈(0,2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=A.15B.55C.33D.25511.设F为双曲线C:22221(0,0)xyabab的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆222xya交于P,Q两点.若PQOF,则C的离心率为A.2B.3C.2D.512.设函数()fx的定义域为R,满足(1)2()fxfx,且当(0,1]x时,()(1)fxxx.若对任意(,]xm,都有8()9fx,则m的取值范围是A.9,4B.7,3C.5,2D.8,3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.14.已知()fx是奇函数,且当0x时,()eaxfx.若(ln2)8f,则a__________.15.ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc.若π6,2,3bacB,则ABC△的面积为__________.16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.(本题第一空2分,第二空3分.)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)如图,长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B–EC–C1的正弦值.18.(12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.19.(12分)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,1434nnnaab,1434nnnbba.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an–bn}是等差数列;(2)求{an}和{bn}的通项公式.20.(12分)已知函数11lnxfxxx.(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线exy的切线.21.(12分)已知点A(−2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.(i)证明:PQG△是直角三角形;(ii)求PQG△面积的最大值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在极坐标系中,O为极点,点000(,)(0)M在曲线:4sinC上,直线l过点(4,0)A且与OM垂直,垂足为P.(1)当0=3时,求0及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知()|||2|().fxxaxxxa(1)当1a时,求不等式()0fx的解集;(2)若(,1]x时,()0fx,求a的取值范围.2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国II卷参考答案1.A2.C3.C4.D5.A6.C7.B8.D9.A10.B11.A12.B13.0.9814.–315.6316.26;2117.解:(1)由已知得,11BC平面11ABBA,BE平面11ABBA,故11BCBE.又1BEEC,所以BE平面11EBC.(2)由(1)知190BEB.由题设知11RtRtABEABE△△,所以45AEB,故AEAB,12AAAB.以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,||DA为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则C(0,1,0),B(1,1,0),1C(0,1,2),E(1,0,1),(1,1,1)CE,1(0,0,2)CC.设平面EBC的法向量为n=(x,y,x),则0,0,CBCEnn即0,0,xxyz所以可取n=(0,1,1).设平面1ECC的法向量为m=(x,y,z),则10,0,CCCEmm即20,0.zxyz所以可取m=(1,1,0).于是1cos,||||2nmnmnm.所以,二面角1BECC的正弦值为32.18.解:(1)X=2就是10:10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1–0.5)×(1–04)=05.(2)X=4且甲获胜,就是10:10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1–0.4)+(1–0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.19.解:(1)由题设得114()2()nnnnabab,即111()2nnnnabab.又因为a1+b1=l,所以nnab是首项为1,公比为12的等比数列.由题设得114()4()8nnnnabab,即112nnnnabab.又因为a1–b1=l,所以nnab是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)知,112nnnab,21nnabn.所以111[()()]222nnnnnnaababn,111[()()]222nnnnnnbababn.20.解:(1)f(x)的定义域为(0,1),(1,+∞)单调递增.因为f(e)=e110e1,22222e1e3(e)20e1e1f,所以f(x)在(1,+∞)有唯一零点x1,即f(x1)=0.又1101x,1111111()ln()01xfxfxxx,故f(x)在(0,1)有唯一零点11x.综上,f(x)有且仅有两个零点.(2)因为0ln01exx,故点B(–lnx0,01x)在曲线y=ex上.由题设知0()0fx,即0001ln1xxx,故直线AB的斜率00000000000111ln111ln1xxxxxkxxxxxx.曲线y=ex在点001(ln,)Bxx处切线的斜率是01x,曲线lnyx在点00(,ln)Axx处切线的斜率也是01x,所以曲线lnyx在点00(,ln)Axx处的切线也是曲线y=ex的切线.21.解:(1)由题设得1222yyxx,化简得221(||2)42xyx,所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)(i)设直线PQ的斜率为k,则其方程为(0)ykxk.由22142ykxxy得2212xk.记2212uk,则(,),(,),(,0)PuukQuukEu.于是直线QG的斜率为2k,方程为()2kyxu.由22(),2142kyxuxy得22222(2)280kxukxku.①设(,)GGGxy,则u和Gx是方程①的解,故22(32)2Gukxk,由此得322Gukyk.从而直线PG的斜率为322212(32)2ukukkukkuk.所以PQPG,即PQG△是直角三角形.(ii)由(i)得2||21PQuk,2221||2ukkPGk,所以△PQG的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()kkkkSPQPGkkkk‖.设t=k+1k,则由k0得t≥2,当且仅当k=1时取等号.因为2812tSt在[2,+∞)单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为169.因此,△PQG面积的最大值为169.22.解:(1)因为00,M在C上,当
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