第三章单自由度系统的简谐激励强迫振动-1

1第三章单自由度系统的简谐激励强迫振动第一节导引从本章起，讨论系统由外界持续激励引起的振动，称为强迫振动。激励按来源分：1.力激励：①直接作用于机械运动部件上的力②有旋转机械或往复运动机械中不平衡质量引起的惯性力2.支承运动而导致的位移激励、速度激励及加速度激励激励按随时间变化规律分：1.简谐激励2．周期激励3．任意激励外界激励所引起的系统的振动状态称为响应。对应于不同的外界激励，系统将具有不同的响应。系统的响应一般以位移形式表示，称为位移响应。有时也以速度形式或加速度形式表示，分别称为速度响应或加速度响应。简谐激励是激励形式中最简单的一种，但掌握系统对于简谐激励的响应的规律，是理解系统对于周期激励或更一般形式激励的响应的基础。2第二节简谐激励下的响应一、运动方程及其解mmoxkxkc()Ftcx0sinFt在质量-弹簧-阻尼系统中，质量块上作用有简谐激励力0()sinFtFt其中0F---激励力幅---激励频率以静平衡位置为坐标原点，建立坐标系。系统的运动微分方程为0sinmxcxkxFt（3-1）由高数知，上式是二阶常系数非齐次常微分方程。该方程的通解()xt由相应的齐次方程的通解()cxt和非齐次方程的特解()pxt两部分组成，即()()()cpxtxtxt（1）齐次方程的通解()cxt齐次方程的通解()cxt对应于有阻尼自由振动的解，在3弱阻尼（1）的情况下为()cossinsinnntcddtdxteAtBtAet式中A和B为待求常数，由初始条件确定。（2）非齐次方程的特解()pxt根据高数，非齐次方程的特解()pxt假设为()sin()pxtXt（3-4）将()pxt及其一阶导数、二阶导数代入式（3-1），得20()sin()cos()sinkmXtcXtFt利用三角公式，将上式右端改写成如下形式0000sinsin[()]cossin()sincos()FtFtFtFt代入上式，得200()sin()cos()cossin()sincos()kmXtcXtFtFt比较方程左右两侧sin()t和cos()t的系数，得200()cossinkmXFcXF联立求解，得0222()()FXkmc（3-2）42ctgkm（3-5）（3）方程的通解()xt()()()cossinsin()ncptddxtxtxteAtBtXt（3-6）设000,(0),(0)txxxx，将初始条件代入方程（3-6）和它的一次导数，解出A和B，再回代入方程（3-6），得000()cossinntndddxxxtextt①sincossincossinntndddXett②sin()Xt③这就是初始条件为0x、0x，在简谐激励力0sinF作用下系统的响应（系统的强迫振动）。可见，该响应由三部分组成（ⅰ）①为初始条件为0x、0x引起的自由振动，称为系统对初始条件的响应。（ⅱ）②是伴随激励而产生的自由振动，称为自由伴随振动。其特点是振动频率是系统有阻尼固有频率，但振幅与系统本身的性质及激励因素有关。（ⅲ）③为稳态强迫振动。5（ⅳ）①+②的振动振幅都将随时间逐渐衰减，因此它们都是瞬态振动。即在运动开始的很短时间内就迅速消失，只剩下稳态强迫振动sin()Xt。对于强迫振动问题，稳态响应是最重要的。故所研究的强迫振动，如无特殊说明，都是指稳态强迫振动。为了下面研究的方便，省去稳态强迫振动()pxt的下标“p”。二、稳态强迫振动的特征()sin()xtXt式中X----振幅----相位差，表示响应滞后于激励的相位角。令频率比nr则2222nmrk，22ncrk故振幅和相位差为02220222()()(1)(2)FXkmcFkrr（3-3）2221crtgkmr（3-5）6稳态强迫振动的特点：1.稳态强迫振动是简谐振动，振动频率与激励力的频率相同，而相位滞后于激励力。2.稳态强迫振动的振幅X和相位差都只决定与系统本身的物理性质和激励力的大小与频率，与初始条件无关。这说明初始条件只影响系统的瞬态振动。73.（1）幅频特性为了具体讨论影响稳态响应振幅的各种因素，引入无量纲的振幅动力放大系数（放大因子），它定义为22201(1)(2)XFrrk（3-7）绘制以阻尼比为参数的一组曲线---幅频特性曲线00.250.510.7072r1（ⅰ）当1r，即n时，无论阻尼的大小如何，动力放大系数01XFk，0FXk，即振幅近似地8等于激励力幅值0F作用下的静位移0Fk（低频激励时的振动幅值接近于静态位移）。在这个区域内振幅X主要由弹簧刚度k控制，故称这个区域为弹性控制区。（ⅱ）当1r，即n时，无论阻尼的大小如何，动力放大系数0，0FXk，说明高频激励时响应的振幅很小。这是因为激励力的方向改变太快，质量块的位移受惯性力的影响来不及有相应的变化。此时∵2222022111121XFrrkrr∴2000222nFFFXkrkm可见在这个区域内振幅X主要决定与系统的惯性，故称这个区域为惯性控制区。（ⅲ）当1r，即n时，动力放大系数迅速增大，振幅与阻尼情况关系密切。A．当0时，1r，则，X。即振幅趋于无穷大。这种现象称为位移共振（共振）。B．当0时，由0ddr，可得振幅为最大时的频率比9212nr对应的振幅最大值为0max221FkX此时系统发生共振。但在实际中，由于阻尼通常较小（例如0.2），则当1，即n称为共振，其共振振幅为000max2nFFFXkcc可见振幅的大小主要决定于阻尼c，因此称这个区域为阻尼控制区。（ⅳ）对于1r或1r这两个区域内，对应于不同的阻尼比值的曲线较为密集，说明阻尼对响应振幅的影响不显著。因此，在这两种极端的情况下，系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的。对于1r这个区域，阻尼对振幅有决定性的影响，既增大阻尼会使振幅明显下降。因此，在这个区域内，增大阻尼对振动有很强的抑制效果。当20.7072，系统不会出现共振，且动态位移比静态位移小。10（2）相频特性为了具体讨论影响稳态响应相频的各种因素，以频率比r为横坐标，相位差为纵坐标，阻尼比为参数，绘制出一组曲线----相频特性曲线90º180º01.02.03.0=0.25=0.5=0.7=0（ⅰ）若=0当1,=0r；1,=r；=1,r角发生突变，从0调到。（ⅱ）若0当1,0r，即位移x于激励()Ft几乎同相位；111,=r，即位移x于激励()Ft几乎反相位；=1(=),nr即共振时，2，这时与阻尼值的大小无关。这是共振时的一个重要特征。此时位移总是滞后于激励90°。（ⅲ）相位差随着频率比r的增大而逐渐增大。阻尼比对相位差的影响为：当1r时，相位差随着阻尼比的增大而增大；1r时，相位差随着阻尼比的增大而减小。