第4章《指数函数与对数函数》

省学业水平测试数学辅导第4章《指数函数与对数函数》班级姓名§4.1实数指数幂【知识要点】1．n次方根如果xn=a（n∈N+，且n1），则称x为a的n次方根；正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根，记作na。当na有意义时，把na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数。负数没有偶次方根，即当根式的根指数为偶数时，根式内应大于或等于零；零的任何次方根都是零。根式具有以下性质：（1）aann)(（n∈N+，且n1）。（2）当n为奇数时，aann；当n为偶数时).0(),0(aaaaaann2．分数指数幂与根式an（n∈N+）叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数。（1）nmnmaa（m，n∈N+，且n1，当n为奇数时，a∈R，当n为偶数时，am≥0）。（2）nmnmnmaaa11（nma有意义，且a≠0）。3．实数指数幂的运算法则当我们将幂的指数推广到实数以后，其整数指数幂的运算法则仍然适用于实指数幂（见下表）。整数指数幂（m，n∈Z）实数指数幂（a0，b0，，∈R）aman=am+naa=a+nmnmaaa（a≠0）aaa(am)n=amn(a)=a(ab)m=ambm(ab)=abnnnbaba（b≠0）baba【基础训练】1．计算（1）2-2=；（2）(a+1)0=(a≠1)；（3）31278=；（4）33)7(=；（5）5105=。2．将下列根式化为分数指数幂的形式（1）32a=；（2）731b=；（3）53)(1ba=。3．将下列分数指数幂化为根式（1）322=；（2）21a=；（3）65)(ab=。【能力训练】1．计算（1）40216)(31（2）40579()94()73(）2．化简（1）33278a（a≠0）（2）2)2(x（x-2）。§4.2幂函数【知识要点】1．幂函数的概念形如y=x（∈R，≠0）的函数叫做幂函数，其中x为自变量，为常数。2．幂函数的定义域幂函数没有统一的定义域，即使得x有意义。【基础训练】1．下列函数是幂函数的是（）。A．xy32B．32xyC．y=(x-5)2D．y=5x22．函数y=32x的定义域是（）。A．[0,+)B．(0,+)C．(-,0)∪(0,+)D．R3．下列函数中定义域为[0,+)的是（）。A．35yxB．32yxC．y=x-2D．y=x24．函数y=x3的定义域是；函数y=x-3的定义域是；函数32yx的定义域是；函数32yx的定义域是。【能力训练】1．已知幂函数xy，当81x时，y=2.（1）求该幂函数的表达式；（2）求该幂函数的定义域；（3）求当x=2，3，31，23时的函数值。§4.3指数函数1．指数函数的概念形如y=ax（a0，且a≠1）的函数叫做指数函数，其中x为自变量，a为常数。2．指数函数的图象及性质函数y=ax（a1）y=ax（0a1）图象性质定义域：R值域：(0，+∞)图象经过点(0，1)，即当x=0时，y=1是R是的增函数是R上的减函数【基础训练】1．下列函数中是指数函数的是（）。A．y=(-3)xB．xy52C．21xyD．y=32x2．指数函数y=0.7x是R上的单调函数；指数函数xy23是R上的单调函数（填“增”或“减”）。3．指数函数y=ax（a0，且a≠1）的图象经过点(1，3)，则函数的解析式yxy=ax(a1)O1y=1yxy=ax(0a1)O1y=1是；当x=0时，y=；当x=3时，y=；函数在R上是单调函数（填“增”或“减”）。【能力训练】1．比较大小（用“”或“”连接）（1）1.20.31.20.4；（2）33.133.2；（3）325151；（4）2-2.32-2.4；（5）1543.2；（6）2-40.3-2；（7）75328532；（8）52565356。§4.4对数的概念1．对数的概念：如果ab=N（a0，且a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN读作“以a为底N的对数”。2．对数式与指数式的互化：我们把ab=N叫做指数式，logaN=b叫做对数式，两者之间的关系如下图所示。3．常用对数和自然对数ab=NlogaN=b底数幂真数指数对数名称底数一般记法简记法常用对数10log10NlgN自然对数e=2.718281…logeNlnN4．几个重要结论：（1）零和负数没有对数；（2）真数为1的对数等于零，即loga1=0（a0，且a≠1）；（3）真数与底数相同的对数等于1，即logaa=1（a0，且a≠1）。【基础训练】1．指数式25=32化为对数式为；指数式81134化为对数式为。2．对数式log5125=3化为指数式为；对数式21001lg化为指数式为。3．求值：log33=，log20131=，ln1=，lg10=。【能力训练】1．求下列各式中的x：（1）log3x=4（2）lgx=2（3）lnx=0（4）33log=x（5）logx8=3§4.5对数的运算【知识要点】loga(MN)=logaM+logaNlogaMN=logaM-logaNlogaMb=blogaM【基础训练】1．下列各式中，正确的是（）。A．loga(x+y)=logax+logayB．loga(MN)=logaMlogaNC．yxyxaaaloglog)(logD．log5x3=3log5x（x0）2．log216=；lg100-lg0.1=；1251log5；27log31；log1122-log112=。3．若log32=a，则log323=。【能力训练】1．化简log38÷log32可得（）。A．log34B．4C．3D．232．若lg2=a，lg3=b，则lg6可用a，b表示为（）。A．abB．a-bC．a+bD．ba3．计算（1）lg5+lg20（2）lg0.01+lne-log8.31§4.6对数函数1．对数函数的概念：形如y=logax（a0，且a≠1）的函数叫做对数函数，其中x为自变量，a为常数。2．对数函数的图象及性质函数y=logax(a1)y=logax(0a1)图象性质定义域：(0，+∞)值域：R图象经过点(1，0)，即当x=1时，y=0是(0，+∞)上的增函数是(0，+∞)上的减函数【基础训练】1．对数函数y=log2.5x的定义域与值域分别是（）。A．R，(0，+∞)B．(0，+∞)，RC．(0，+∞)，(0，+∞)D．R，R2．比较大小（用“”或“”连接）（1）log70.31log70.32（2）log0.70.25log0.70.35（3）6.0ln32ln（4）lg3lg2（5）0533log（6）log0.52log523．对数函数y=log1.2x的定义域为，值域为，图象位于，经过点，在yxy=logax(a1)O1yxy=logax(0a1)O1定义域上是函数（填“增”或“减”）。4．对数函数y=log0.8x的定义域为，值域为，图象位于，经过点，在定义域上是函数（填“增”或“减”）。【能力训练】1．下列函数中在(0，+∞)上是增函数的是（）。A．xy31B．y=-x2C．xy21logD．y=log2x2．已知对数函数y=logax（a0，且a≠1）的图象经过点（8，3），则该对数函数的解析式为3．求下列函数的定义域（1）y=log0.3(2x-3)（2）xy5ln（3）351lgxy