酉空间与Householder变换

矩阵分析与计算参考书目：•矩阵计算的理论与方法，徐树方.•矩阵分析，horn.R.A和Johnson.C.R等.•矩阵论，方保镕等.•矩阵计算与应用，胡茂林.•矩阵论，程云鹏.•矩阵理论与方法，魏洪增.酉空间与Householder变换1.1酉空间的定义1.2酉空间的有关概念1.3欧氏空间与酉空间的比较欧氏空间与酉空间相比，基础数域由实数域变成了复数域，内积的对称性变成了共轭对称性.因此，欧氏空间的结构与酉空间的结构是不相同的.但酉空间的内积近似于欧氏空间的内积.这样，酉空间有与欧氏空间平行的一套理论.学习过程中应注意相近但又不完全相同的地方（见下表）定理3正规矩阵的不同特征值所对应的特征向量必正交.证明留作习题2.Householder矩阵定义2设为单位向量，则称矩阵为Householder矩阵，或称为Householder变换，记作H，即nwH2EwwH2HEww2.1定义2.2Householder矩阵的性质(1)Householder矩阵H是酉矩阵.即证明略.(2)若H是Householder矩阵，则.证明略.(3)Householder矩阵仅有两个不同特征值-1和1，其中1是n-1重的，-1是单重的.而且w是属于特征值-1的单位特征向量.H2,HHHETHHE【证明1】Householder矩阵的特征多项式为所以，1是矩阵的n-1重特征值；-1是矩阵的单特征值.又因为,故w是属于特征值-1的单位特征向量.HH1H1det((2))det((1)2)(1)det((1)2)(1)(1)nnEEwwEHH(2)2()HwEBnmmndet()det()mnmnEABEBA注意在以上证明中使用了行列式的性质：若是矩阵，是矩阵，且则，【证明2】将单位向量所以，是n-1重的，-1是单重的.而且w是属于特征值-1的单位特征向量.wn2,,,nw22,,,nnHwwHH2211(,,,)(,,,)1nnHwwH(1,1,,1)H扩充成酉空间的一组标准正交基，，则从而，酉相似于对角矩阵diag仅有两个不同特征值-1和1，其中1，即.Hxy是实数.则必定取,nxyxy22xy(,)xyH(,)xyHHHHH(,),()xyyxyxyxxy2xywxyH2,HEwwHHH22HHHHHH2222H22(2)222()=()()()()=()()xyxyHxEwwxxwwxxxxyxyxxyxxxyxxyyyxxyxxyxyxyxyxyxxyxxyyxy(4)设，且，，,使【证明】由是实数知，，令则故命题成立.存在Householder矩阵,nxyy0pH.pHxyH(,)xyyx22pxy22pxypxy22222222pxxyyyxyyHHH22(,)()pppxxyyxyxyxyHpHxy(5)设，且，则存在常数及Householder矩阵,使【证明】若是实数，取，或.并选择正负号，使，此时且由性质(4)有Householder矩阵，使.H(,)xyyxH(,)0xyyxH2H2pxyxyyxH2H2pxyxyyxHHHHH22H22(,)()pppxxyxxyyxyxyxyxyyyxpxyHpHxy若是虚数，则，取，或故并选择正负号，使由性质(4)有Householder矩阵，使.HmHOOEmEOOHmsEOOOHOOOEH2nHEwwH1,(6)设是n阶Householder矩阵，则，，均为Householder矩阵.【证明】设，其中即为单位向量.则HH22nnmmmHOEOEwwOwwOOEOEOEOOHHH.nmnmHOOE因为，所以是Householder矩阵.其它两个矩阵可以类似的证明.问题：若H与S均为Householder矩阵，HOOS是否为Householder矩阵？请同学们思考！问矩阵TT1,2,2,(1,0,0).xeH,ppHxe例4设求Householder矩阵及实数使.使TT4,1,2,2,(4,3,0,0)xyT(1,0,0,0)eHHxyHe=e例5设，.求Householder矩阵且.思考题：若A是m×n复矩阵，是否可用一系列Householder变换可将A化为行阶梯形矩阵？或者说，是否存在酉矩阵Q，使QA为行阶梯形矩阵？谢谢！