数学建模-第三章-微分方程模型

数学建模（MathematicalModeling)黑龙江科技学院理学院工程数学教研室第三章微分方程模型黑龙江科技学院数学建模理学院微分方程数值解微分方程模型第三章水池中含盐量模型、学习模型人口模型、战争模型重点:各种简单的微分方程模型难点:微分方程建立数学模型的思想方法加热与冷却模型、目标跟踪模型黑龙江科技学院数学建模理学院建模举例在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。动态模型•描述对象特征随时间(空间)的演变过程•分析对象特征的变化规律•预报对象特征的未来性态•研究控制对象特征的手段•根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模•根据建模目的和问题分析作出简化假设•按照内在规律或用类比法建立微分方程黑龙江科技学院数学建模理学院例1物体在空气中的冷却速度与物体、空气的温差成正比，如果物体在20min内由100℃冷却到60℃，那么经过多长时间此物体的温度将达到30℃？解：由题意知：6031,100020TTtkdtdT，微分方程的解为：20ktCeT得T=80(1/2)3t+20,即经过1h温度可降到30℃。牛顿冷却定律：将温度为T的物体放入处于常温T0的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差。黑龙江科技学院数学建模3.1加热与冷却模型理学院黑龙江科技学院数学建模例2尸体冷却问题受害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于晚上8:20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6℃；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4℃，室温在几个小时内始终保持21.1℃。此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5:00时打完电话后就离开了办公室”。从张某到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题是，张某不在凶案现场的证言能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外。理学院首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下午5点5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否则不能将张某排除。设T(t)表示t时刻尸体的温度，并记晚上8:20为t=0，则T(0)=32.6℃，T(1)=31.4℃。假设受害者死亡时体温是正常的，即T=37℃是要确定受害者死亡的时间，也就是求T(t)=37℃的时刻，进而确定张某是否是嫌疑犯。问题分析与符号说明人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调节的功能消失，尸体的温度受外界环境温度的影响。黑龙江科技学院数学建模理学院假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化律与他同周围的温度差成正比。即)1.21(TkdtdTk是常数分离变量kdtTdT1.21两边同时积分kdtTdT1.21ktaetT1.21)(黑龙江科技学院数学建模理学院T(0)=21.1+a=32.6a=11.5T(1)=21.1+ae-k=31.4e-k＝115/103k=0.11T(t)=21.1+11.5e-0.11t当T=37℃时，有t=-2.95小时＝-2小时57分8小时20分－2小时57分＝5小时23分即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。黑龙江科技学院数学建模理学院3.2目标跟踪模型例1饿狼追兔问题0,0'100100xxyy1002'120'xdxxfhxyhxf现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴?解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：hB60A(100,0)Oy=f(x)c(x,y)假设在某一时刻，兔子跑到(0,h)处，而狼在(x,y)处，则有：整理得到下述模型：解得狼的行走轨迹为：320010xx301xf21230100f'0,100fxf'1x'2xf'2因f(0)=200/360，所以狼追不上兔子。黑龙江科技学院数学建模理学院•设河边点O处有条小鱼，O的正对岸点为A，河宽OA＝h，鸭子从A出发游向点O，设鸭子在静水中的速度为a，水流速度为b（ab），且鸭子游动方向始终朝着点O。求鸭子游过的轨迹方程。aOA（h,o）xy顺水方向P(x,y)bv黑龙江科技学院数学建模例2小鸭吃鱼问题理学院首先建立如图所示的坐标系，设鸭子游动的轨迹为y(t)且时刻t时鸭子所在的位置为P(x,y)。由于鸭子在任意时刻游动的的实际方向是曲线的切线方向，而切线的斜率为，因此应建立一个微分方程。由可得这是一个齐次方程，解得dxdy},{},{2222yxaybyxaxvvvyx0)(22hyaxyxbxydxdy])()[(211ababhxhxhy黑龙江科技学院数学建模理学院某些类型的导弹对目标追击的数学模型于此模型类似。例1设有一水池，，内盛盐水100L，现在以浓度为2g/L的盐水流入池中，其流速为3L/min，假设流入池内的新盐水和原有盐水因搅拌而能在顷刻间成为均匀的溶液，此溶液又以2L/min的流速流出，求30min是池内所存盐水的含盐量。3.3水池中含盐量模型解：设在t秒时池内的存盐量为y=y(t)g,因为每分钟流入3L溶液，且每升溶液含盐2g,在任一时刻流入盐的速率为:同时，又以2L/min的速率流出溶液，故tmin后溶液总量为:[100+(3-2)t]L,每升溶液的含盐量为(y/100+t)g,因此排除盐的速率为：V1(t)=3×2=6(g/min)V2(t)=2×(y/100+t)=2y/100+t(g/min)黑龙江科技学院数学建模理学院从而池内盐的变化率为：g/mint1002y6tVtVdtdy2161002ytdtdy500ty即且有初始条件为解一阶线性微分方程得到特解为：2t1001500000t1002y当t=30时，池内含盐量为171(g)1301500000260y230t类似可以得到湖水污染模型。黑龙江科技学院数学建模理学院例2设有一个30m×30m×12m的车间，其中空气中含有0.12%的CO2,如需要在10min后,CO2的含量不超过0.06%（设新鲜空气中CO2的含量为0.04%），问每分钟应通入多少立方米的新鲜空气？通风问题解：设y为时间t时，CO2的浓度；a为通入的空气量(m3/min);v为车间的体积(m3);y0为CO2的初浓度；g为新鲜空气CO2的浓度。解决这个问题根据下列两个物质平衡式：增量=加入量-排出量流进（或排出）量=流进（或排出）速度×浓度×时间黑龙江科技学院数学建模理学院下面考虑时间间隔(t,t+dt)内CO2进入量与排出量。CO2的进入量=agdtCO2的排出量=aydt在dt时间内,CO2的增量为agdt-aydt=a(g-y)dt在t时刻,CO2的总量为vy在t+dt时刻,CO2的总量为v(y+dy)在dt时间内,CO2的增量为v(y+dy)-vy=vdyvdy=a(g-y)dtdtvagydy为一阶变量可分离方程，初始条件为y∣t=0=y0求解得：gegyytva0车间空气中CO2浓度y与时间t的数学模型代入数据得a=1500(m3/min),即每分钟应通入1500m3的新鲜空气，就能在10min后使车间内的CO2含量不超过0.06%.黑龙江科技学院数学建模理学院一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。设y%表示已经掌握了这项工作的百分数，表示学员学习的速度，则随y的增长而下降。dtdyy100dtdy假设一个学员的学习速度=尚未学会的工作占总工作的百分数，于是积分得t100e100y3.4学习模型黑龙江科技学院数学建模理学院例1在电冰箱、电视机、汽车制造等行业中，装配工人的工作是一种重复性的熟练劳动，在这些行业中，新工人的学习过程如下：刚开始时，由于技术不熟练，生产单位产品需要较多的劳动时间；随着不断地工作，新工人的熟练程度逐渐提高，生产单位产品需要的劳动时间越来越短；当工人达到完全熟练程度后，生产单位产品需要的劳动时间就会稳定在一个定值，试建立新工人学习的数学模型解：设x为新工人累计完成的生产量，y表示他生产第x个单位产品时所需要的劳动时间，根据统计分析，y一般可表示为如下形式：0k10,A0,cAxcAAxcxykk学习曲线黑龙江科技学院数学建模理学院例2某纺织厂招收一批新工人学习1511型织布机的操作。观察工人的学习过程发现，当累计织完25匹布后，工人织每匹布需要用16小时，累计织完64匹布后，工人织每匹布需要用10小时。已知熟练工人织每匹布用时8小时。1、试确定出新工人的学习曲线模型2、计算新工人需要多少时间才能达到熟练工人的程度。解：（1）建立数学模型设工人累计织布匹数为x，则工人的学习曲线为：AxcAAxcxykk黑龙江科技学院数学建模理学院代入数据：1625c25yk1064c64yk586425k21582lg58lg6425lg58lgk806410c21100x8100x80xy21得将c=80，k=1/2,代入学习曲线得A=100，所以学习曲线为：(2)达到熟练程度所需的时间为时100010080T=dx=160x=16000x(小)黑龙江科技学院数学建模理学院为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量,由此引起的误差将是十分微小的。3.5人口模型与战争模型黑龙江科技学院数学建模理学院模型1马尔萨斯（Malthus）模型马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r基本上是一常数，（r=b-d,b为出生率，d为死亡率），既：1dNrNdtdNrNdt或（3.5）0()0()rttNtNe（3.6）（3.5）的解为：其中N0=N(t0)为初始时刻t0时的种群数。马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：002rTNNeln2Tr故黑龙江科技学院数学建模理学院模型检验比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6（即3.06×109），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。检查1700年至1961的260年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。19502000205021002150220000.511.522.533.5x1011t/年N/人马尔萨斯模型人口预测模型预测假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，而到2670年，人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。故马尔萨斯模型是不完善的。几何级数的增长Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。黑龙江科技学院数学建模理学院模型2Logistic模型