数学建模-第四章-概率统计模型

数学建模（MathematicalModeling)黑龙江科技学院理学院工程数学教研室第四章概率统计模型黑龙江科技学院数学建模理学院线性回归模型概率统计模型第四章经济轧钢模型重点:概率统计模型的建立和求解难点:概率统计模型的基本原理及数值计算决策模型黑龙江科技学院数学建模理学院建模举例排队论模型报纸零售商最优购报问题黑龙江科技学院数学建模理学院决策问题是人们在政治、经济、技术和日常生活中经常遇到的一类问题。它是现代企业管理的核心问题，贯穿于整个企业管理的始终。本节将首先简要说明决策的概念和分类，然后介绍风险型和不确定型决策模型及其应用。4.1决策模型黑龙江科技学院数学建模理学院4.1.1决策的概念和类型所谓决策，就是从多个备选方案中，选择一个最优的或满意的方案付诸实施。例4.1.1（展销会选址问题）某公司为扩大市场，要举办一个产品展销会，会址打算选择甲、乙、丙三地，获利情况除了与会址有关外，还与天气有关，天气分为晴、阴、多雨三种，据天气预报，估计三种天气情况可能发生概率为0.2，0.5，0.3其收益情况见表4.4.1，现要通过分析，确定会址，使收益最大。黑龙江科技学院数学建模理学院1.决策者2.决策的备选方案或策略A1，A2，…，Am3.决策准则，即衡量所选方案正确性的标准。对同一个决策问题，不同的决策准则将导致不同的方案选择。4.事件或自然状态N1，N2，…，Nn5.结果，即某事件(状态)发生带来的收益或损失值决策问题通常包含以下要素：黑龙江科技学院数学建模理学院表4.4.1天气情况N1（晴）N2（阴）N3（多雨）自然状态收益值概率选址方案P1=0.20P2=0.50P3=0.30A1（甲地）461A2（乙地）541.5A3（丙地）621.2黑龙江科技学院数学建模理学院决策的分类：1.确定型决策——自然状态只有一种，即n=1；2.风险型决策——n1且各种自然状态出现的概率Pj（j=1，2，…，n）可通过某种途径获得；3.不确定型决策——各种自然状态下发生的概率既不知道，也无法预先估计。黑龙江科技学院数学建模理学院4.1.2风险型决策问题由概率论知识，一个事件的概率就是该事件在一次试验中发生的可能性大小，概率越大，事件发生的可能性就越大。基于这种思想，在风险决策中我们选择一种发生概率最大的自然状态来进行决策，而不顾及其他自然状态的决策方法，这就是最大可能准则。这个准则的实质是将风险型决策问题转化为确定型决策问题的一种决策方法。1．最大可能准则黑龙江科技学院数学建模理学院例如4.4.1投资决策问题若采用最大可能准则可得因此方案A1最优。5.0}{max312jjPP6}{max23112iiaa应该指出的是：如果各种自然状态出现的概率比较接近，此决策方法不宜采用。黑龙江科技学院数学建模理学院如果把每个行动方案看作随机变量，在每个自然状态下的效益值看作随机变量的取值，其概率为自然状态出现的概率，则期望值准则就是将每个行动方案的数学期望计算出来，视其决策目标的情况选择最优行动方案。2．期望值准则黑龙江科技学院数学建模理学院例如，对例4.1.1按期望值准则进行决策，则需要计算各行动方案的期望收益值，事实上显然，E(A1)最大，所以采取行动方案A1最佳，即选择甲地举办展销会效益最大。56.23.02.15.022.06)(45.33.05.15.042.05)(1.43.015.062.04)(321AEAEAE有些实际问题中，为了获得收益，还必须增加一定的投资，这时，需从投资和收益两个方面综合考虑选择最优行动方案。黑龙江科技学院数学建模理学院决策树法就是把各种备选方案、可能出现的状态和概率以及产生的后果用树状图画出来（形象地称为决策树或决策树图），然后根据期望值准则进行决策的一种方法。3.决策树法黑龙江科技学院数学建模理学院1.画一个方框□作为出发点，称为决策点。从决策点画出若干条直线或折线，每一条代表一个行动方案，这样的直(折)线，称为方案分枝。分枝数表示可能的行动方案数。步骤如下:2.在各方案分枝的末端画一个圆圈○，称为状态节点或方案节点。从状态节点引出若干条直线或折线，此分枝称为概率分枝。每条线表示一种自然状态，在线旁边标出相应状态发生的概率。黑龙江科技学院数学建模理学院3.在各概率分枝的末端画一个三角△，称为末稍节点。把各方案在各种状态下的益损值标记在末稍节点右边4.在决策树上由右向左计算各状态点出的数学期望值，并将结果标在状态节点上。遇到决策点则比较各方案分枝的效益期望值以决定方案的优劣，并且双线“＋＋”划去淘汰掉的方案分枝，选出收益期望值最大(或损失值最小)的方案作为最优方案，将最优方案的期望值标在决策点的上方。黑龙江科技学院数学建模理学院下面采用决策树法求解展销会选址问题决策A3A1A2甲地乙地丙地4.14.13.452.56晴P（N1）=0.2阴P（N2）=0.5多雨P（N3）=0.1晴P（N1）=0.2阴P（N2）=0.5多雨P（N3）=0.1晴P（N1）=0.2阴P（N2）=0.5多雨P（N3）=0.1△+4△+6△+1△+5△+4△+1.5△+6△+2△+1.2黑龙江科技学院数学建模理学院例4.4.1只包括一个决策点，称为单级决策问题。在有些实际问题中将包括两个或两个以上的决策点，称为多级决策问题，可利用同样的思路进行决策。例4.1.2某工程采用正常速度施工，若无坏天气的影响，可确保在30天内按期完成工程，但据天气预报，15天后天气肯定变坏，有40%的可能出现阴雨天气，但这不会影响工程进度，有50%的可能遇到小风暴，而使工期推迟15天；另有10%的可能遇到大风暴而使工期推迟20天。对于以上可能出现的情况，考虑两种方案：黑龙江科技学院数学建模理学院1）提前加班，确保工程在15天内完成，实施此方案需增加额外支付18000元。2）先维持原定的施工进度，等到15天后根据实际出现的天气状况再作对策：a）若遇阴雨天，则维持正常进度，不必支付额外费用。b）若遇小风暴，则有下述两个供选方案：一是抽空（风暴过后）施工，支付工程延期损失费20000元，二是采用应急措施，实施此措施可能有三种结果：有50%的可能减少误工期1天，支付延期损失费和应急费用24000元；30%的可能减少误工期2天，支付延期损失费和应急费用18000元;有20%的可能减少误工期3天，支付延期损失费和应急费用12000元。c）若遇大风暴，则仍然有两个方案可供选择：一是抽空进行施工，支付工程的延期损失费50000元;二是采取应急措施，实施此措施可能有三种结果：有70%的可能减少误工期2天，支付延期损失费及应急费用54000元；有20%可能减小误工期3天，支付延期损失费及应急费用46000元；有10%的可能减少误工期4天，支付延期损失费及应急费用38000元。试进行决策，选择最佳行动方案。黑龙江科技学院数学建模理学院A正常速度B小风暴CE01800012000180002400020000DF5400046000380005000050000198001980014900减少误工3天(0.2)减少误工4天(0.1)减少误工2天(0.7)减少误工1天(0.5)减少误工2天(0.3)减少误工3天(0.2)阴雨（0.4）（0.5）（0.1）50800提前加班应急抽空施工抽空施工应急大风暴14900解（1）据题意画出决策树黑龙江科技学院数学建模理学院（2）计算第一级节点E,F的损失费用期望值将19800和50800标在相应的机会点上，然后在第一级决策点C,D外分别进行方案比较：首先考察C点，其应急措施支付额外费用的期望值较少，故它为最佳方案，同时划去抽空施工的方案分枝，再在C上方标明最佳方案期望损失费用19800元；再考虑D外的情况，应急措施比抽空施工支付的额外费用的期望值少，故划去应急措施分标，在D上方标上50000元。（3）计算第二级节点B的损失费用期望值将其标在B的上方，在第二级决策点A处进行比较，发现正常进度方案为最佳方案，故划去提前加班的方案分枝，并将14900标在A点上方。50800380001.0460002.0540007.0)(19800120002.0180003.0240005.0)(FEEE14900500001.0198005.004.0)(BE黑龙江科技学院数学建模理学院4.1.3不确定型决策1.乐观准则乐观准则的思想就是对客观情况总是持乐观态度，事事都合人意，即选最大效益的最大值所对应的行动方案作为决策，也称为好中求好法。}{ijjiaxmaxma黑龙江科技学院数学建模理学院2．悲观准则悲观准则的思想就是对客观情况总是持悲观态度，万事都不会如意，即总是把事情的结果估计的很不利，因此就在最坏的情况下找一个较好的行动方案。也就是在每个状态下的最小效益值中选最大值所对应的行动方案作为决策，也称为小中取大法。}{ijjianmixma黑龙江科技学院数学建模理学院3．等可能准则（Laplace准则）等可能准则的思想就是既然不能断定哪种自然状态出的可能性的大小，就认为各自然状态出现的可能性相同，即。然后按风险决策的方法进行决策。njnNpj,,2,1,1)(黑龙江科技学院数学建模理学院例4.1.3某厂有一种新产品，其推销策略有A1，A2，A3三种可供选择，但各方案所需资金、时间都不同，加上市场情况的差别，因而获利和亏损情况不同，而市场情况有三种：N1需求量大，N2需求量一般，N3需求量低。市场情况的概率并不知道，其效益值见表4.1.2。（1）用乐观法进行决策。（2）用悲观法进行决策。（3）用等可能法进行决策。黑龙江科技学院数学建模理学院市场情况销售策略A1A2A3N1N2N35010-530250101010NaA表4.1.2黑龙江科技学院数学建模理学院解乐观法：因为每个行动方案在各种状态下的最大效益值为所以最大效益的最大值为其最大值50对应的行动方案为A1，因此用乐观法的决策结果是执行策略A1。10}10,10,10max{}{30}0,25,30max{}{50}5,10,50max{}{321jjjjjjaxmaaxmaaxma50}10,30,50max{ijjiaxmaxma黑龙江科技学院数学建模理学院解悲观法：因为每个行动方案在各种状态下的最大效益值为所以最大效益的最大值为其最大值10对应的行动方案A3为。因此用悲观法决策的结果是应执行策略A3。10}10,10,10min{}{0}0,25,30min{}{5}5,10,50min{}{321jjjjjjanmianmianmi10}10,0,5max{ijjianmixma黑龙江科技学院数学建模理学院解等可能法：取计算出各行动方案的期望值为显然都达到最大值，这时究竟选那一个策略可由决策者的偏好决定，若是乐观型的，可选A1，否则选A2。10103110311031)(35503125313031)(355)5(3110315031)(321AEAEAE;3,2,1,31)(jNpj)()(21AEAE黑龙江科技学院数学建模理学院从本例可以看出，对不确定型的决策问题，采用不同的决策准则所得到的结果并非完全一致。但难说哪个准则好，哪个准则不好。究竟在实际问题中采用哪个准则，依决策者对各种自然状态的看法而定。因此，为了改进不确定型决策，人们总是设法得到各自然状态发生的概率，然后进行决策。黑龙江科技学院数学建模理学院问题报纸零售商售报：a(零售价)b(购进价)c(退回价)售出一份赚a-b；退回一份赔b-c每天购进多少份可使收入最大？分析购进太多卖不完退回赔钱购进太少不够销售赚钱少应根据需求确定购进量每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的存在一个合适的购进量等于每天收入的期望4.2报纸零售商最优购报问题黑龙江科技学院数学建模理学院建模•设每天购