抽杀问题-约瑟夫问题

[阅读材料]世界名题与小升初之：抽杀问题（約瑟夫问题）--马到成功老师在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。先给大家介绍这一问题的由来。据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特後，39個犹太人与Josephus及他的朋友躲到一個洞中，39個犹太人決定宁愿死也不要被人抓到，于是決定了一个自杀方式，41個人排成一个圆圈，由第1個人开始报数，每报数到第3人该人就必須自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他將朋友与自己安排在第16個与第31個位置，于是逃过了这场死亡游戏。解法約瑟夫问题可用代数分析來求解，将这个问题扩大好了，假设现在您与m个朋友不幸参与了这个游戏，您要如何保护您的朋友？只要画两个圆圈就可以让自己与朋友免于死亡游戏，这两个圆内圈是排列顺序，而外圈是自杀顺序，如下图所示：使用程式来求解的话，只要将阵列当作环状来处理就可以了，在陈列中由计数1开始，每找到三个无资料区就填入一个计数，直接计数來求解的話，只要將阵列当作环状来处理就可以了，在阵列中由計数1开始，每找到三个无资料区就填入一个計数，直而計数达41为止，然后將阵列由索引1开始列出，就可以得知每个位置的自杀順序，这就是約瑟夫排列，41個人报数3的約瑟夫排列如下所示：1436138152243031634425175403161826737198352792032104121112839122233132923由上可知，最后一個自杀的是在第31个位置，而倒数第二个自杀的要排在第16个位置，之前的人都死光了，所以他们也就不知道約瑟夫与他的朋友并没有遵守游戏规则了。小升初常见抽杀考题例举：例1：把1～999这999个自然数按顺时针的方向依次排列在一个圆圈上（如下图）。从1开始按顺时针的方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4……这样每隔一个数擦去一个数，转圈擦下去。问：最后剩下一个数时，剩下的是哪个数？马到成功解析：可通过找规律得出，如果有2n个数，那么转一圈擦去一半，剩下2n-1个数，起始数还是1；再转一圈擦去剩下的一半，又剩下2n-2个数，起始数还是1……转了n圈后，就剩下一个数是1。如果有2n+d（d＜2n）个数，那么当擦去d个数时，剩下2n个数，此时的第一个数是最后将剩下的数。因为擦去的第d个数是2d，所以2d+1就是最后剩下的整数。999=29+487，最后剩下的一个数是487×2+1=975。例2：1000个学生坐成一圈，依次编号为1，2，3，…，1000。现在进行1，2报数：1号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下，3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下……学生们依次交替报1或2，凡报1的学生立即离开，报2的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人。问：这个学生的编号是几号？分析：这个问题与上面这题非常相似，只不过本例是报1的离开报2的留下，而上题相当于报1的留下报2的离开，由上题的结果可以推出本例的答案。本例中编号为1的学生离开后还剩999人，此时，如果原来报2的全部改报1并留下，原来报1的全部改报2并离开，那么，问题就与上面这题完全一样了。因为剩下999人时，第1人是2号，所以最后剩下的人的号码应比上题大1，是975＋1=976（号）。为了加深理解，我们重新解这道题。解：如果有2n个人，那么报完第1圈后，剩下的是2的倍数号；报完第2圈后，剩下的是22的倍数号……报完第n圈后，剩下的是2n的倍数号，此时，只剩下一人，是2n号。如果有（2n＋d）（1≤d＜2n）人，那么当有d人退出圈子后还剩下2n人。因为下一个该退出去的是（2d＋1）号，所以此时的第（2d＋1）号相当于2n人时的第1号，而2d号相当于2n人时的第2n号，所以最后剩下的是第2d号。由1000=29＋488知，最后剩下的学生的编号是488×2=976（号）。例3：有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？分析与解：这100张卡片如果用线串起来，其实还是一个围成一圈的约瑟夫问题。如果上面几题的解法看不太懂，可学学这题，从最简单的情况开始找规律。下面从简单的不失题目性质的问题入手，寻找规律。列表如下：设这一摞卡片的张数为N，观察上表可知：（1）当N=2a（a=0，1，2，3，…）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的最后一张，即第2a张；（2）当N=2a+m（m＜2a）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第2m张。取N=100，因为100=26+36，2×36=72，所以剩下这张卡片是原来那一摞卡片的第72张。总结上题及例1例2：可归纳为两种情况：1、留1，杀2类：剩下号＝（总数－小于总数最大的2的次方数）×2＋12、杀1，留2类：剩下号＝（总数－小于总数最大的2的次方数）×2记住留1要加1，杀1不用加1，总发现有学生在这点上分辨不清。因此可对照：例1：为“留1”类，可用：（999－512）×2＋1＝975例2：为“杀1”类，可用（1000－512）×2＝976例3：为“杀1”类，可用（100－64）×2＝72上面的512,64都是小于总数的最大的2的次方数。再看一道经变化的逆推题：例4：如下左图,七枚棋子围成一个圆圈,从①开始,每隔一个取一个,依次取走①、③、⑤、⑦、④、②,最后剩下⑥.二十枚棋子围成一个圆圈(如右图),从开始,每隔一个取一个,最后将只剩下一枚棋子是⑥.实际上例就是抽杀问题的“杀1留2类”，右图可假设先从1开始取起，那根据规律留下的为：（20－16）×2＝8号，想留下6号得逆时针倒推2枚棋子。则最后结果为19号开始。①③②④⑤⑥⑦①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑾⑿⒀⒁⒂⒃⒄⒅⒆⒇试试我们玩的扑克牌：例5：有两副扑克牌，每副牌的排列顺序均按头两张是大王、小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列。每种花色的牌又按1，2，3，…，J,Q,K顺序排列。某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，…….如此进行下去，直至最后只剩下一张牌。试问所剩的这张牌是哪一张？解：注意到：如果手中只有64张牌，按这样规则丢牌，那么后剩下的应该是第64张牌。现在手中有108张牌，多出108－64＝44张，我们只需按此规定丢掉44张后，把88张牌放在手中牌的最底层时，这时手中牌恰为64张。这样，再丢下去，最后留下的就是原牌顺序的第88张，接下来的难点就涉及周期问题了，是哪张牌呢？先去掉一副，再去掉黑桃、红桃各十三张，即为88-54-2×26＝6。按照花色排列应为方块6。来个再难点的三个数一组的题：例6：连续自然数1，2，3，…，8899排成一列。从1开始，留1划掉2和3，留4划掉5和6……这么转圈划下去，最后留下的是哪个数？可仿例1与例2。这道题留1划2和3，每次留下三分之一，显然与3的N次方有关了。当有3n个数时，留下的数是1号。小于8899的形如3n的数是38=6561，故从1号开始按规则划数，划了8899-6561=2338（个）数后，还剩下6561个数。这划去的数中的最后一个2338÷2×3=3507，故最后留下6561个数中的第一个就是3508。这道题也可归纳出一个规律：“留1，杀2,3”型留下的这个数为＝（总数－小于总数的最大的3的次方数）÷2×3＋1考一考：连续自然数1，2，3，…，8899排成一列。从1开始，划掉1和2，留下3，划掉4和5留下6……这么转圈划下去，最后留下的是哪个数？这道题可定为“杀1，2留3”型，其中的规律与答案就留给你自己去研究了。另外在最前面约瑟夫的介绍中的类型可说成为“留1、2杀3型”你探索一下这道题有什么规律。最后见识一下隐形抽杀问题：例7：在纸上写着一列自然数1，2，……，99，100。一次操作是指将这列数中最前面的两个数划去，然后把这两个数的和写在数列的最后面，例如一次操作后得到3，4，…，99，100，3；而两次操作后得到5，6，…，99，100，3，7。这样不断进行下去，最后将只剩下一个数。问：最后剩下的数是多少？最初的100个数连同后面写下的数，纸上出现的所有数的总和是多少？马到成功解析：在每次操作过程中，数列中添加的数等于划去的两个数之和，因此数列中所有数的和保持不变，于是当最后只剩下一个数时，它就是原来的100个数之和，为1+2+…+99+100=5050。当数列中有2n个数时，经过n次操作后将被全部划去，同时出现n个新数，并且这n个新数之和等于原来2n个数的和。这提示我们去考虑数列包含2，2×2，2×2×2，…项的时刻。6个2连乘是64，当经过100-64=36次操作后，原来的数1，2，…，71，36×2=72被划去，划去的数的和是1+2+…+71+72=2628。此时数列中共有64个数，并且这64个数的和与原来100个数的和相等，是5050。从该时刻起，依次再经过32，16，8，4，2，1次操作后，纸上出现的新数的个数依次为32，16，8，4，2，1。根据前面的分析，每一轮出现的所有新数的和都是5050。从数列中有64个数变为只有1个数，操作共进行了6轮。综上所述，纸上写出的所有数之和为2628+5050+5050×6=37978。学会了抽杀问题的思路再来理解这题的设计就比较容易了。