第二章--相交线与平行线复习

第二章相交与平行复习教案本章知识框架构建框架系统整理)整合拓展创新归类资源夯基提能)与相交线有关角(对顶角、互余、互补、垂直)的计算例1如图2－T－1，直线BC，DE交于O点，OA，OF为射线，AO⊥OB，OF平分∠COE，∠COF＋∠BOD＝51°.求∠AOD的度数．图2－T－1[解析]欲求∠AOD的度数，由于∠AOB＝90°，所以关键是求∠BOD.由图可知∠BOD与∠EOC为对顶角，又OF平分∠COE，故∠BOD＝2∠COF，再结合∠COF＋∠BOD＝51°可求解∠BOD.解：因为OF平分∠COE，所以∠COF＝12∠COE.因为∠BOD与∠COE为对顶角，所以∠BOD＝∠COE，即∠COF＝12∠BOD.因为∠COF＋∠BOD＝51°，所以12∠BOD＋∠BOD＝51°，则∠BOD＝34°.因为AO⊥OB，所以∠AOB＝90°.所以∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝90°＋34°＝124°.[点析]两条直线相交，可能产生对顶角、互余、互补、垂直等，这些角并不是孤立存在的，它通常与其他角之间存在一定的位置关系和数量关系，本题中通过相关角之间的数量关系构建方程求解问题，解题关键是要善于挖掘图形中的隐含条件，综合运用所学知识，融会贯通，逐步分析与解决．与平行线性质、判定有关的计算与说理题例2[沈阳中考]如图2－T－2，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1＝50°，则∠2＝________．图2－T－2[答案]40°[解析]如图2－T－3，首先根据平行线的性质求出∠3的度数，然后再结合平角的概念求出∠2的度数．图2－T－3∵a∥b，∴∠1＝∠3＝50°.∵PM⊥l，∴∠4＝90°.∵∠4＋∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－90°－50°＝40°.[点析]平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．反过来可得平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．例3如图2－T－4所示，∠1＝∠C，∠2＝∠4，FG⊥BC于点G.(1)∠2与∠3是否相等？试判断并说明理由．(2)AD与BC是否互相垂直？试判断并说明理由．图2－T－4[解析](1)由平行线的性质结合∠1＝∠C可知∠2＝∠3；(2)由(1)的结论及已知∠2＝∠4即可判定AD∥FG，进而可得出AD与BC的垂直关系．解：(1)∠2＝∠3.理由如下：因为∠1＝∠C，所以ED∥AC，所以∠2＝∠3.(2)AD⊥BC.理由如下：由(1)知∠2＝∠3.又因为∠2＝∠4，所以∠3＝∠4.所以AD∥FG.因为FG⊥BC，所以AD⊥BC.[点析]借助相关角之间的关系，得到两线平行，平行线的性质是指由两条直线平行推出角之间的关系．解题关键是综合运用了平行线的性质和判定，对条件进行单个分析或综合分析，对结论进行转化，有利于帮助我们转化角或找到角与角之间的关系，也有利于我们确定两条直线的位置关系．这是解决几何问题甚至是数学问题，找寻思路的常用方法．平行线知识的简单应用例4一条公路两次转弯后又回到原来的方向(即AB∥CD，如图2－T－5所示)，如果第一次转弯时的∠B＝140°，那么∠C应是()图2－T－5A．140°B．40°C．100°D．180°[解析]A因为∠C与∠B是内错角，又因为AB∥CD，故∠C＝∠B＝140°，故选A.[点析]这是平行线性质的简单应用．这类题的设计情境较新颖，主要考查运用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学与生活的密切联系．尺规作图例5如图2－T－6所示，已知∠β，求作∠AOB，使∠AOB＝2∠β.图2－T－6解：作法：(1)作射线OA；(2)以射线OA为一边作∠AOC＝∠β；(3)以O为顶点，以射线OC为一边，在∠AOC的外部作∠BOC＝∠β.则∠AOB就是所求作的角．如图2－T－7所示．图2－T－7[点析]本题中两次运用基本作图——作一个角等于已知角．若继续以OB边在外部作∠BOD＝∠β，可得∠AOD＝3∠β.分类讨论思想例6已知∠AOC＝90°，∠AOC∶∠AOB＝3∶2，求∠BOC的度数．[解析]∠AOB可能在∠AOC的外部，也可能在∠AOC的内部，需分类讨论．解：如图2－T－8所示．因为∠AOC＝90°，∠AOC∶∠AOB＝3∶2，所以∠AOB＝60°.当∠AOB在∠AOC的内部时(如图①所示)，∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝90°－60°＝30°；当∠AOB在∠AOC的外部时(如图②所示)，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.所以∠BOC的度数为30°或150°.图2－T－8[点析]分类讨论思想是指被研究的问题包含多种可能情况，而又不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，要遵循的规则是不重复、不遗漏任何一种可能的情况，每种可能情况都要按照同一标准进行讨论．,章内专题阅读阅读专题思维拓展)平行线中的开放题学习了平行线的判定与性质后，我们不仅能应用其解决现成的、熟悉的问题(即已知、结论都给定的问题)，更应该能解决开放性的问题，用以检验对所学知识的掌握程度和能否学以致用，会学会用才是根本．一、条件开放例1如图2－T－9所示，∠1＝∠2，请你添上一个条件，使AB∥CD，这个条件是__________．图2－T－9[答案]答案不唯一，如∠MBE＝∠MDF[解析]若具体地给出条件，问为什么AB∥CD，同学们很熟悉，也很容易解决，但此题这样设问，就需要有牢固的基础知识和基本技能方可解决．要使AB∥CD，就需要同位角或内错角相等、同旁内角互补等条件，而本题中的∠1与∠2不是“三线八角”的基本角，所以所需的条件应间接去寻找，即应转化到直线AB，CD被MN所截而形成的角中，由此可添加条件，如∠MBE＝∠MDF等．二、结论开放例2如图2－T－10所示，已知∠1＝∠D，∠1＋∠A＝180°，可得到哪些直线互相平行？请说明理由．图2－T－10解：由条件∠1＝∠D，可知AD∥BC.又由∠1＋∠A＝180°，可进一步推出AB∥CD.理由：因为∠1＝∠D(已知)，所以AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．又因为∠1＋∠A＝180°(已知)，所以∠D＋∠A＝180°(等量代换)，所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．三、条件结论双开放例3如图2－T－11所示，给出下列三个论断：①∠B＋∠D＝180°；②AB∥CD；③BC∥DE.请你以其中两个论断作为已知条件，以另一个论断作为结论，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并说明理由．图2－T－11解：认真观察图形并分析三个论断，考虑到平行线的条件和特征，可知符合题意的有3种情况，即①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①，选其中一种即可．如①②⇒③.理由：因为AB∥CD(已知)，所以∠B＝∠C(两直线平行，内错角相等)．又因为∠B＋∠D＝180°(已知)，所以∠C＋∠D＝180°，所以BC∥DE(同旁内角互补，两直线平行)．