任意角的三角函数教案

1《任意角的三角函数》高淳中等专业学校马振功教学对象综高一年级授课学时2课时教学目标1、理解任意角的正弦、余弦、正切函数的定义及其定义域；会用角终边上任意一点坐标表示的正弦、余弦和正切值.2、掌握正弦、余弦、正切的定义域；能利用三角函数的定义确定这三种函数值在各象限内的符号.3、运用研究函数的一般方法，经历从特殊到一般，具体到抽象的研究过程，体验数形结合、类比等思想方法.教学重点与难点重点：任意角的三角函数定义及其在各象限内符号。难点：对任意角的三角函数定义的理解。教学方法启发、引导、演示法、练习法.教学（课程）资源1、江苏省中等职业学校文化课《数学》（基础模块（上册））教材及教师用书.2、江苏省中等职业学校《数学导学与同步训练》（基础模块（上册））3、多媒体PPT、三角板．教学设计说明学习内容分析：本节将三角函数的自变量从锐角推广到任意角,通过平面直角坐标系中角的终边上任意一点(,)Pxy的坐标及其,,yxyrrx三个比值的特点定义了任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数，讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域和这三个函数值在各象限的符号。三角函数是重要的初等函数，是第3章函数的延伸和拓展，通过三角函数的学习，可以进一步巩固函数的概念。因此，任意角的正弦、余弦、正切函数的定义是本节重点，关键是帮助学生建立三角函数的概念，同时又对后面的三角函数的图像与性质的学习起到关键作用。依据教学大纲，本节内容分两个课时完成，第一课时重点介绍任意角的三角函数定义及简单应用；第二课时重点介绍三个三角函数的定义域及三角函数在各象限内的符号。学情分析：学生在初中已经学习了在直角三角形中锐角的正弦、余弦和正切的定义，这为本节课三角函数定义的推广奠定了基础。而我所任教班级的学生学习的主动性相对欠缺，因此，在理解任意角三角函数定义时可能会遇到一定的困难，教学预案构思，自认为要较多地发挥教师的主导作用。教学方法：为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用了问题引导策略，通过启发、引导、演示、练习、多媒体辅助等多种教学方法相结合，通过课堂上教师设置的问题，不断强化学生对三角函数概念的理解，化解教学难点。教学设计思路：首先围绕角的终边上点的坐标的几何直观，借助相似三角形知识，让学生认识到任意角的正弦值、余弦值、正切值定义的合理性；在此基础上运用函数的概念，帮助学生体会任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的意义。接着牢牢抓住三角函数定义及联系定义的角的终边在直角坐标系中的位置关系，引导学生经历观察、回顾、分析、发现、总结归纳等过程。因此，教学设计内容主要为“情境导入→探索研究→启发引导→应用并解决问题。”2教学环节与主要内容教学表现行为目标课堂教学评价一、情景导入（5min）多媒体投影：问题1：0sin30=、0cos45=、0tan60=问题2：初中对锐角是如何定义sin、cos、tan的值呢？如图:sinyr对边斜边,cos=xr邻边斜边，tan=yx对边邻边(引导学生分析)在上述的表达式中，任意一个锐角都唯一对应一组,,yxyrrx，即,,yxyrrx分别是锐角的的函数。思考：对上述问题2的锐角能否推广到任意角呢？这就是我们本节要学习的知识：引出课题：§5.3任意角的三角函数1、从学生已有的知识出发，导入新课，提高学生参与课堂活动的积极性。2、通过角与,,yxyrrx之间的对应关系，加深学生对函数概念的理解。1、评价学生对特殊角三角函数值和锐角的正弦、余弦和正切定义的识记情况。2、评价学生对函数定义的理解。3二、段落Ⅰ（一）探索新知（15min）问题1:若将问题2中的直角三角形放在坐标系中（如下图）此时点B的坐标是什么？sin、cos、tan与点B的坐标存在怎样的关系呢？(学生小组讨论，总结出结论)结论：已知锐角的终边上一点B(,)xy，那么可表示出sin、cos、tan。即sinyr，cosxr，tanyx（其中22rxy）问题2：在直角坐标系中，在锐角的终边上任意取不同于原点的点(,)Pxy和'''(,)Pxy设点',PP到原点的距离分别为',rr.（1）''yyrr，''xxrr，''yyxx这三个等式成立吗？（2）当锐角不变时，三个比值,,yxyrrx与点P在角终边上的位置有关吗？问题3：对角变为任意角时，问题2的结论还成立吗？（用几何画板演示，让学生直观感受）1、通过图形让学生直观感受sin、cos、tan的值与角终边上一点的坐标之间关系，为给出任意角的三角函数定义做好铺垫。2、通过问题2的探索，可以为任意角三角函数的合理性做好铺垫。3、借助几何画板的直观性，加深学生的理解。1、评价学生通过观察图形解决问题的能力。2、通过学生对探索问题的回答，评价他们对相似三角形相关知识的掌握情况。3、评价学生的观察能力和总结归纳能力。4教师：通过观察我们发现，,,yxyrrx三个比值只与终边的位置有关，与在终边上选取的点(,)Pxy的位置无关。因此，我们可以用,,yxyrrx三个比值来定义角的三角函数。任意角三角函数的定义：（板书）一般地，当角是任意角时，设(,)Pxy为终边上不同于原点的任意一点，22rxy，我们定义：比值yr叫做的正弦值，记作sin即sinyr比值xr叫做的余弦值，记作cos即cosxr比值yx叫做的正切值，记作tan即tanyx依照上述定义,对于每一个确定的角，都分别有唯一的正弦值、余弦值、正切值与之对应，所以这三个对应关系都是以为自变量的函数，sin,cos,tan分别叫做角的正弦函数、余弦函数、正切函数。(二)定义应用：（25min）例1：如图，已知角终边经过点(2,3)P，求角的三个三角函数值．【学生练习】已知角终边经过点(5,12)P，求角的三个三角函数值。4、通过对定义的强调和板书，加深学生对定义的理解。5、通过例1加深学生对定义的理解。4、评价学生对定义识记情况。5例2：求下列各角的正弦值、余弦值、正切值。（1）0（2）32【学生练习】《数学》课本129P页练习(填写下表)。例3：已知角终边上有一点(,5)Px，0x且6cos4，求sin，tan的值。【变式】已知角为第二象限角，其终边上有一点(,12)Px，且12sin13，求cos，tan的值。问题解决：在直角坐标系中，角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）的交点为(,)Pxy，试求sin，cos，tan6、通过例2，训练学生灵活应用定义解决问题的能力。7、通过变式提高学生的变式思维能力。8、借助单位圆进一步加深对三角函数定义的理解。5、评价学生对特殊角终边位置的判定。6、评价学生的变式思维能力和应用所学知识解决问题的能力。三、段落Ⅱ（一）探索新知（15min）问题1：对于任意角，点(,)Pxy为角终边上异于原点O的任意一点，设点P到原点O的距离为r（220rxy）那么,,yxyrrx始终有意义吗？(让学生小组讨论)1、用讨论函数定义域的一般方法探索正弦、余弦和正切函数的定义域。1、评价学生对函数定义域的掌握情况。6总结：sinyr（0r）故yr恒有意义，所以正弦函数的定义域是R.同理余弦函数的定义域为Rtanyx当0x时无意义，此时角的终边在y轴上，,2kkZ，所以正切函数的定义域为{|,}2kkZ表达式定义域sinyRcosyRtany{|,}2kkZ问题2：在直角坐标系中，各象限内点的横坐标、纵坐标的符号怎样？问题3：当任意角的终边落在各象限时，三个三角函数值的符号怎样？分析：sinyr，220rxy正弦值的符号与纵坐标y同号终边在一、二象限的角的正弦为正；终边在三、四象限的角的正弦为负；同理可以分析余弦、正切在各象限的符号。记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦2、复习回顾坐标系中各象限内点的横坐标、纵坐标的符号，为探索角的终边在各象限时三角函数的符号做好铺垫。3、培养学生用类比思想分析问题的能力。2、评价学生理解定义、应用定义的能力。3、评价学生对直角坐标系中各象限内点的纵、横坐标符号的识记。4、评价学生分析问题的能力和总结归纳能力。7（二）知识应用：（25min）例4：确定下列三角函数的符号。（1）7cos12（2）0sin(465)（3）tan9【学生练习】确定下列三角函数的符号。（1）7cos3（2）0sin(1005)（3）tan5例5：已知sincos0，判断角是第几象限角.【学生练习】已知角是第二象限的角，则求sincostan|sin||cos||tan|的值。例6：在ABC中，已知coscoscos0ABC，判断ABC的形状.【学生练习】若三角形的两个内角,满足sincos0，判断三角形形状.4、提高学生应用所学知识解决问题能力。5、评价学生对角终边位置判定。四、课堂小结（3min）引导学生根据自己的学习收获进行总结：1、任意角三角函数的定义及其三种三角函数的定义域；2、利用定义求三角函数值的方法；3、判断任意角三角函数符号的方法。1．梳理内容，突出重点，巩固定义.2．培养学生归纳、总结的能力.评价学生对所学知识的理解情况。五、布置作业（2min）《数学》基础模块（上册）130P习题1、2、3、4通过作业巩固本节课所学的内容通过作业评价课堂教学效果.