塑性力学(第一章).

塑性力学第一章简单应力状态下的弹塑性力学问题§1.1引言§1.2材料在简单拉压时的实验结果§1.3应力-应变关系简化模型§1.4轴向拉伸时的塑性失稳§1.5简单桁架的弹塑性分析§1.6强化效应的影响§1.7几何非线性的影响§1.8弹性极限曲线§1.9加载路径的影响§1.10极限载荷曲线（面）§1.11安定问题§1.1引言一、变形弹性变形：物质微元的应力和应变之间具有单一的对应关系非弹性变形：应力和应变之间不具有单一的对应关系非弹性变形塑性变形粘性变形（是指物体在除去外力后所残留下的永久变形）（随时间而改变，如蠕变、应力松弛等）二、塑性与脆性如果变形很小就破坏，便称是脆性如果经受了很大的变形才破坏，材料具有较好的韧性或延性，这时材料的塑性变形能力较强，便称是塑性。在这种情况下，物体从开始出现永久变形到最终破坏之间仍具有承载能力。——采用弹性理论分析——采用塑性力学分析研究在哪些条件下可以允许结构中某些部位的应力超过弹性极限的范围，以充分发挥材料的强度潜力研究物体在不可避免地产生某些塑性变形后，对承载能力和（或）抵抗变形能力的影响研究好何利用材料的塑性性质以达到加工成形的目的三、塑性力学目的塑性力学是连续介质力学的一个分支，故研究时仍采用连续介质力学中的假设和基本方法。四、塑性力学的方法基本方程:①几何关系②守恒定律③本构方程§1.2材料在简单拉压时的实验结果材料：金属多晶材料受力：单向拉伸或压缩实验(名义)应力：σ=P/A0(名义)应变：ε=（ι-ι0）/ι0P0A0lP0A图10lPP一、实验描述图2上屈服点SOM1MCS下屈服点(b)MMM1MNCASepOA(a)二、实验曲线线弹性阶段非线性弹性阶段屈服阶段强化阶段颈缩阶段pesb实验曲线加载过程实验曲线卸载过程SACb弹性阶段：卸载沿原路返回塑性阶段：卸载沿直线返回，斜率与弹性阶段相同MNO应变强化：三、两种现象包氏效应：实验曲线反向加载：单晶体，其压缩时的屈服应力也有相似的提高(图2（a）中的M´´点)多晶体，其压缩屈服应力（M´点）一般要低于一开始就反向加载时的屈服应力（A´点）。这种由于拉伸时强化影响到压缩时弱化的现象称为包氏效应（Bauschingereffect）。材料经过塑性变形得到强化SA'A''M'MMNOC图2（a）1、在材料的弹塑性变形过程中，应力与应变之间已不再具有单一的对应关系。四、实验总结加载路径——σ与ε之间的关系依赖于加载路径内变量——宏观参量，用来刻画加载历史例如，作为最简单的近似，可以取内变量ξ为塑性应变εp，而将简单受拉（压）时的应力应变关系写为ε=σ/E+εp（1）——其中E为杨氏模量上式表明，当εP（内变量）一定时，σ与ε之间有单一的对应关系。2.σ与ε之间的线性关系ε=σ/E+εp（1）式是有适用范围的。对于固定的内变量εP，σ或ε并不能随意取值。例如，对处于图2（a）中的M点，当加载时即应力（或应变）继续增长时，应力应变曲线将沿AMM1方向延伸，公当卸载时即应力（或应变）减小时应力应变曲线才以（1）式的规律沿MN向下降。为了区分以上这种加载和卸载所具有的不同规律，就必须给出相应的加卸载准则。SA'A''M'MMNOC1M图2（a）五、影响材料性质的其它几个因素1、温度当温度上升时，材料的屈服应力将会降低而塑性变形的能力则有所提高。3．静水压力当静水压力不太大时，材料体积的变化服从弹性规律而不产生永久的塑性体积改变。2、应变速率如果实验时将加载速度提高几个数量级，则屈服应力也会相应地提高，但材料的塑性应变形能力会有所下降。当材料有较大的塑性变形时（弹性变形相对地很小），可近似地认为体积是不可压的。静水压力对屈服应力的影响也是不大的。§1.3应力-应变关系关系的简化模型图3SOS)4(signEEss时，当时，当signEsss时，当时，当,类似地，上式也可用应变表示为：1．理想弹塑性模型适用：强化率较低的材料，在应变不太大时可忽略强化效应SOS图4EE)5()11)((/,,,signEEEEsSS时当时当.)(,,signEEssss时当时当2．线性强化弹塑性模型类似地，上式也可用应变表示为：适用：材料的强化率较高且在一定范围内变化不大（假定拉伸和压缩时屈服应力的绝对值和强化模量都相同）OCABp(a)ssE当当其中))]/(E(-[E0)((6))(1)(——表示图5（a）中的线段比ABAC/3．一般加载规律对于一般的单向拉伸曲线，在不卸载时应力应变关系：注：这种模型在=0处的斜率为无穷大，近似性较差，但在数学上比较容易处理。图6On5n2n1n7100E0（8）,signBm4．幂次强化模型（其中B0，0m1）其加载规律可写为：（9）.)/(//07300n如取就有,07100710E0说明：这对应于割线余率为0.7E的应力和应变，上式中有三个参数可用来刻画实际材料的拉伸特性，而在数学表达式上也较为简单。5．Ramberg-Osgood模型等向强化模型),(6.等向强化模型及随动强化模型例如：可取适用：拉伸时的屈服应力和压缩时的屈服应力始终是相等的。——是刻画塑性变形历史的参数图2（a）SA'A''M'MMNOC1MPd∫=或PPdW∫==该模型不论拉伸还是压缩都使屈服应力提高，对应图2（a）中的和。NM''NM随动强化模型上式在线性强化情形下也可写为,)(sp,sph（是塑性应变的单调递增函数）)(pp适用：考虑包氏效应，认为拉伸屈服应力和压缩屈服应力的代数值之差，即弹性响应的范围始终是不变的。pddh=是一个常数（）图2（a）SA'A''M'MMNOC1M该模型对应图2（a）中的和。NM''NM§1.4轴向拉伸时的塑性失稳一、拉伸失稳的概念1、拉伸失稳：注意：拉伸试件在出现颈缩后，试件局部区域的截面积会有明显减少，再用名义应力和应变来描述此时的材料特性是不适当的（见图2）在最高点以后，增加应变时应力反而下降，在通常意义下称试件是不稳定的。SA'A''M'MMNOC1M图2（a）,=~AP)1ln()/ln(~00lllld,=0）（名义应力AP,00）（名义应变lll2、真应力3、对数应变4、截面积收缩比q=（A0-A）/A0假定材料是不可压缩的：A0l0=Al，并认为名义应力达到最高点C时出现颈缩：CO1~~(a),0dd~0000~ellAPAAAP~)~(~~~~~eeedddddd二、真应力则在颈缩时真应力应满足条件拉伸失稳分界点的斜率正好和该点的纵坐标值相等。由结论：~~曲线拉伸-[1]O1~)()(~~CC(b)),1(~,~)(~+1==++1=dddd).1(~~dd注意到颈缩时的条件也可写为：即~曲线拉伸-拉伸失稳点的斜率为其纵坐标值除以C)1(结论：[2][3]以截面积收缩比q为自变量,)(=~q-1则,)-(=qdqd1由颈缩时的条件,0=dqd拉伸失稳时真应力所满足的条件:,)(~=~qdqd-1随着材料的变形，微裂纹和（或）孔洞的生成及汇合也将会造成材料的弱化而导致失稳。称之为应变弱化。三、材料本身的失稳现象例如，在低碳钢拉伸实验中由上屈服应力突然下降到下屈服应力的现象，它与材料变形的内部微观机制的变化有关。在许多问题（如拉伸失稳等）中，以上两种现象往往是耦合的§1.5简单桁架的弹塑性分析图8BCDyx(b)BCDPQ①②③l(a)一、问题的提出以图示的一次静不定三杆桁架为例进行弹塑性分析。图中三根杆的截面积均为A，中间第二杆的杆长为，它与相邻的第一杆和第三杆的夹角均为θ=450，在其交汇点O处作用水平力Q和垂直向下的力P，O点将产生水平位移和垂直位移。lxy二、问题的解答已知：解：如定义第根杆的名义应力为,名义应变为,),3,2,1(iiii则有如下平衡方程,/)(,/)(312231222AQAP和几何关系).2/()(,/),2/()(321lllxyyxy和协调条件312为了得到问题的解，还必须补充本构方程。我们假定材料是理想弹塑性。,/)(,/)(312231222AQAP./2,1231AP),3,2,1(,iEii.21312(1)Q=0时的弹性解和弹塑性解由弹性解:由312}./2,1231AP})18()()222()(2)221(231eeSPPsAPPPAP1、应力)19(221seAP)18()()222()(2)221(231eeSPPsAPPPAP为屈服应力s————为垂直方向上的弹性极限载荷2、位移).2/()(,/),2/()(321lllxyyxy),3,2,1(,iEii)18()()222()(2)221(231eeSPPsAPPPAP（14）（17）由（14）、（17）和（18），得))(()(22esyPPEllEl——垂直向下位移,Else图9OeyePPePP12AB理想塑性线性强化载荷-位移曲线则当P由零增至Pe时，在图9的坐标中为区间[0，1]上斜率等于1的直线段OA。若令./2,1231AP.2s)20(,,33211EEs)21(2))(21(2)(22231sessPPAP弹塑性解:312当P由零逐渐增大到Pe时，第2杆的应力也逐渐增大而达到屈服状态：如果P的值再继续增加，则（17）式已不再适用，相应的本构方程应改写为{由应力应变121312===E说明：（1）这时的第2杆虽然已经屈服而失去了进一步的承载能力，但由于它还受到第1杆和第3杆弹性变形的制约，其塑性变形不能任意增和，这种状态称为约束塑性变形。（2）直到P值逐渐增大到使时，三根杆将全部进入屈服阶段，变形已不再受任何约束，结构才完全丧失进一步的承载能力。s==31这时的载荷P为)23(,2)21(eSsPAP——称为塑性极限载荷).2/()(,/),2/()(321lllxyyxy121312===E由和位移,)2(2112Ellly)24(.2))(21(/ePPey.2/,2P/Peey当P=PS时，或注：（24）式对应于图9中在区间[1，2]上斜率为的直线段AB当考虑塑性变形时，结构的变形要比纯弹性变形为大，但仍属同一数量级，而相应的承载能力将会有相当的提高。结论)25(,2231esesPPPP)26(./,/22131EE(2)卸载现将P的值加载到处于PePPs范围内的某一值P*，然后再卸载使P的改变量△P0。由于卸载服从弹性规律，利用（18）式的增量形式，可知应力和应变的改变量分别为图9OeyePP