2020届北京市延庆区高三3月模拟考试数学试题

-1-2020北京延庆区高三一模数学2020.3本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知复数是正实数，则实数的值为A.B.C.D.2.已知向量若与方向相同，则等于A.B.C.D.3.下列函数中最小正周期为的函数是A.B.C.D.4.下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是A.B.C.D.5.某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为,，则它的表面积为A.8B.12C.D.206.的展开式中，的系数是A.160B.80C.50D.107.在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于A.B.C.D.-2-8.已知直线，平面，那么“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）A.6年B.7年C.8年D.9年10.已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且则的面积为A.B.C.D.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知集合,且则的取值范围是12.经过点且与圆相切的直线的方程是13.已知函数则14.某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有种；这三天售出的商品至少有种.15.在中，是边的中点.若，则的长等于；若，则的面积等于.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题14分）如图，四棱锥的底面是正方形，是的中点，平面，是棱上的一点，平面.（Ⅰ）求证：是的中点；（Ⅱ）求证：和所成角等于-3-17.（本小题14分）已知数列是等差数列，是的前项和，，.（Ⅰ）判断是否是数列中的项，并说明理由；（Ⅱ）求的最值.从①，②，③中任选一个，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。18.（本小题14分）三个班共有名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：班班班（Ⅰ）试估计班的学生人数；（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.-4-19.（本小题14分）已知函数其中（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上存在最大值和最小值，求a的取值范围.20.（本小题15分）已知椭圆的左焦点为且经过点分别是的右顶点和上顶点，过原点的直线与交于两点（点在第一象限），且与线段交于点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，求直线的方程；（Ⅲ）若的面积是的面积的倍，求直线的方程.21.（本小题14分）在数列中，若且则称为“数列”。设为“数列”，记的前项和为（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值；（Ⅲ）证明：中总有一项为或.-5-2020北京延庆区高三一模数学参考答案一、选择题:（每小题4分，共10小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C2．D．3．D4．C5.B6．B7．A8.C9.B10.A二、填空题:（每小题5分，共5小题，共25分）11．(,3)；12.3(2)3yx；13．132；14．16,29；15．7,42.10.考察知识：双曲线的定义和性质（对称性、渐近线、离心率），平行四边形的定义和性质（相邻内角互补），三角形的性质（余弦定理、面积公式）.15.在ACD中，sin2sin45ACCD，在ABD中，sin1sin3ABBD，相除得：3sin35，所以72sinsin(453)10A，所以1sin422ABCSABACA.三、解答题：（共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤.）16.（Ⅰ）联结AC，设AC与BD交于F，联结EF，…………1分-6-因为//PA平面BDE，平面PAC平面BDE=EF,所以//PAEF…………4分因为ABCD是正方形，所以F是AC的中点所以E是PC的中点…………6分（Ⅱ）（法一）因为PO平面ABCD，所以POBC…………7分因为ABCD是正方形，所以BCCD因为POCDO所以BC平面PDC…………10分所以BCPD因为PDPC因为BCPCC所以PD平面PBC…………13分因为BE平面PBC所以PDBE所以PD与BE成90角.…………14分（法二）连接OF，因为PO平面ABCD，所以POCD，POOF.………7分因为ABCD是正方形，所以OFCD.所以,,OFOCOP两两垂直.以,,OFOCOP分别为x、y、z建立空间直角坐标系Oxyz.………8分则(0,0,2)P，(0,2,0)D，(4,2,0)B，(0,1,1)E，………9分(0,2,2)PD，(3,1,1)BE,………10分0(3)(2)(1)(2)1PDBE（………1分）0………13分所以所以PD与BE成90角.………14分17.解：选①（Ⅰ）因为10816,10aa，所以3d…………2分所以187102111aad…………4分-7-所以1(1)11(1)3naandn314n…………6分令3142024n，则32038n此方程无正整数解所以2024不是数列{}na中的项.…………8分不能只看结果；某一步骤出错，即使后面步骤都对，给分不能超过全部分数的一半；只有结果，正确给1分.（Ⅱ）（法一）令0na，即3140n，解得：142433n当5n时，0,na当4n时，0,na…………11分当4n时，nS的最小值为41185226S.…13分nS无最大值…………14分只给出最小值-26，未说明n=4扣1分.nS无最大值…1分（Ⅱ）（法二）21()325222nnnaaSnn，2514266ba…………11分当4n时，nS的最小值为43251642622S.…13分nS无最大值…………14分选②（Ⅰ）10816,8aa，4d…………2分18782820aad…………4分1(1)20(1)4naandn424n…………6分令4242024n，则42048n解得512n2024是数列{}na中的第512项.…………8分（Ⅱ）令0na，即4240n，解得：6n-8-当6n时，0,na当6n时，0,na当6n时，0,na…………11分当5n或6n时，nS的最小值为562016128460SS.…………13分nS无最大值…………14分选③（Ⅰ）10816,20aa，2d…………2分187201434aad…………4分1(1)34(1)(2)naandn236n…………6分令2362024n，则994n（舍去）2024不是数列{}na中的项.…………8分（Ⅱ）令0na，即2360n，解得：18n当18n时，0,na当18n时，0,na当18n时，0,na…………11分当17n或18n时，nS的最大值为171818(340)3062SS.…………13分nS无最小值.…………14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自A班的学生有6名．根据分层抽样方法，A班的学生人数估计为61203620．…………3分只有结果36扣1分（Ⅱ）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，…………4分设此人一周上网时长超过15小时为事件D,其中D包含的选法有3+2+4=9种，…………6分-9-9()20PD.…………7分由此估计从120名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的概率为920.……………8分只有结果920而无必要的文字说明和运算步骤，扣2分.（Ⅲ）设从A班抽出的6名学生中随机选取2人，其中恰有(12)ii人一周上网超过15小时为事件iE,从B班抽出的7名学生中随机选取1人，此人一周上网超过15小时为事件F则所求事件的概率为：2111135332212167151811()15735CCCCCPEFEFCC.……………14分（Ⅲ）另解：从A班的6人中随机选2人，有26C种选法，从B班的7人中随机选1人，有17C种选法，故选法总数为：2167157105CC种……………10分设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时”为E，则E中包含以下情况：（1）从A班选出的2人超15小时，而B班选出的1人不超15小时，（2）从A班选出的2人中恰有1人超15小时，而B班选出的1人超15小时，……………11分所以21111353322167151811()15735CCCCCPECC.……………14分只有21111353322167151811()15735CCCCCPECC，而无文字说明，扣1分有设或答，有11()35PE，给3分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：222)1()1(2)(1xxxfa时，当.切线的斜率2)0(fk；0)0(f曲线)(xfy在原点处的切线方程为：xy2.……………5分（Ⅱ）2222)1(2)12()1(2)(xxaaxxaxf22222222221()(1)(1)axaxaaxxaxx（）（）……………7分-10-（1）当时，0a0100)(21axaxxf；则的变化情况如下表：随、xxfxf)()(）上单调递减，）上单调递增，在（在（,11,0)(aaxf……………9分x0（0，a1）a1（，a1）)(xf0)(xf12a递增)1(af递减法1：2)1()(aafxf的最大值为……………10分,1)0()(0)(2恒成立）时，，（存在最小值，则若afxfxxf1112222axaax即：xaaxaax12112222）（在),0(x恒成立，0212aa.1001,02aaa，……………13分所以a的取值范围为]1,0(.……………14分法2：2)1()(aafxf的最大值为；……………10分当1xa时，22ax，222110axaa，0)(,xfx时；即]1,0[ax时，22()[1,]fxaa；)1[，ax时，2()0]fxa（，01)0()(2afxf存在最小值，则若，所以a的取值范围为]1,0(.……………14分用趋近说：0)(,xfx时，论述不严谨，扣1分.（2）当时，0a0100)(21axaxxf；.则的变化情况如下表：随、xxfxf)()(x0（0，a）a（，a）)(xf-0+-11-)(xf12a递减)(af递增）上单调递增，）上单调递减，在（在（,,0)(aaxf法1：1)()(afxf的最小值为.2()[0()1,fxxfxa若存在最大值，则，）时，恒成立2222111axaax