《三角函数的诱导公式》

苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学4(必修)》第1.2.3节“三角函数的诱导公式”教学设计1/7三角函数的诱导公式(第1课时)南京师范大学附属中学刘洪璐教材：苏教版《普通高中课程标准实验教科书(必修4)·数学》第1.2.3节一.教学目标1．知识与技能（1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。2．过程与方法（1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。（2）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。3．情感、态度、价值观（1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。（2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。二.教学重点与难点教学重点:探求π－的诱导公式。π＋与－的诱导公式在小结π－的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出。教学难点:π＋，－与角终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。三.教学方法与教学手段问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件四.教学过程角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？先看一个具体的问题。（一）问题提出如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数求值问题。【问题1】求390°角的正弦、余弦值.一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，三角函数看重的就是终边位置关系。即有：sin(+k·360°)=sinα，cos(+k·360°)=cosα，(k∈Z)tan(+k·360°)=tanα。这组公式用弧度制可以表示成sin(+2kπ)=sinα，cos(+2kπ)=cosα，(k∈Z)(公式一)tan(+2kπ)=tanα。苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学4(必修)》第1.2.3节“三角函数的诱导公式”教学设计2/7（二）尝试推导如何利用对称推导出角π与角的三角函数之间的关系。由上一组公式，我们知道，终边相同的角的同一三角函数值一定相等。反过来呢？如果两个角的三角函数值相等，它们的终边一定相同吗?比如说：【问题2】你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？角π与角的终边关于y轴对称,有sin(π)=sin，cos(π)=cos，（公式二）tan(π)=tan。〖思考〗请大家回顾一下，刚才我们是如何获得这组公式(公式二)的?因为与角终边关于y轴对称是角π-，，利用这种对称关系，得到它们的终边与单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。于是，我们就得到了角π与角的三角函数值之间的关系:正弦值相等，余弦值互为相反数，进而，就得到我们研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系。（三）自主探究如何利用对称推导出π+,与的三角函数值之间的关系。刚才我们利用单位圆，得到了终边关于y轴对称的角π-与角的三角函数值之间的关系，下面我们还可以研究什么呢？【问题3】两个角的终边关于x轴对称,你有什么结论?两个角的终边关于原点对称呢？角与角的终边关于x轴对称，有：sin()=sin，cos()=cos，（公式三）tan()=tan。角π+与角终边关于原点O对称，有：sin(π+)=sin，cos(π+)=cos，（公式四）tan(π+)=tan。上面的公式一~四都称为三角函数的诱导公式。（四）简单应用例求下列各三角函数值：(1)sin76；(2)cos(60°)；（3）tan(855)苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学4(必修)》第1.2.3节“三角函数的诱导公式”教学设计3/7（五）回顾反思【问题4】回顾一下，我们是怎样获得诱导公式的?研究的过程中，你有哪些体会?知识上，学会了四组诱导公式；思想方法层面：诱导公式体现了由未知转化为已知的化归思想；诱导公式所揭示的是终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系。主要体现了化归和数形结合的数学思想。具体可以表示如下：（六）分层作业1、阅读课本，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法；2、必做题课本23页133、选做题（1）你能由公式二、三、四中的任意两组公式推导到另外一组公式吗？（2）角α和角β的终边还有哪些特殊的位置关系，你能探究出它们的三角函数值之间的关系吗？（七）板书设计三角函数的诱导公式(第1课时)教学设计说明教材：苏教版《普通高中课程标准实验教科书数学4(必修)》南京师范大学附属中学刘洪璐我说课的内容是“三角函数诱导公式的教学设计”。下面，我将从4个方面进行汇报。三角函数的诱导公式画图板演学生板演公式一公式二公式三公式四角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学4(必修)》第1.2.3节“三角函数的诱导公式”教学设计4/7一、教学背景分析1.教材的地位和作用本节教学内容是4组三角函数诱导公式的推导过程及其简单应用。承上，有任意角三角函数正弦、余弦和正切的比值定义、三角函数线、同角三角函数关系等；启下，学生将学习利用诱导公式进行任意角三角函数的求值化简，以及三角函数的图象与性质（包括三角函数的周期性）等内容。同时，学生在初中就接触过对称等知识，对几何图形的对称等知识相当熟悉。这些构成了学生的知识基础。诱导公式的作用主要在于把任意角的三角函数化归成锐角的三角函数，体现了把一般化特殊、复杂化简单、未知化已知的数学思想。2.目标定位诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，但是随着计算器的普及，上述意义不是很大。我们认为，诱导公式的教学价值主要体现在以下几个方面：第一，感受探索发现，通过几何对称这个研究工具，去探索发现任意角三角函数间的数量关系式，即三角函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性质）的代数解析表示。第二，学会初步应用，能够选用恰当的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数问题并求解。第三，领悟思想方法，在诱导公式的学习过程中领悟化归、数形结合等思想方法。第四，积累数学经验，为学生认识任意角三角函数既是一个起源于圆周运动的周期函数又是研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”做好准备。为此，我们制定了本节的教学目标（详见教案），以及本节课的教学重、难点。二、教学设计分析在进行本课教学设计时，有以下两条典型教学路线可供选择：（1）两个角的终边有哪些特殊的对称关系？（2）怎样把非第一象限的角转化为第一象限的角？我们最终选择了第一条路线，主要基于以下两点考虑。1.尊重教材的编写方式。从对教材的分析来看，苏教版教材将三角函数作为一种数学模型来定位，力图在单位圆中借助对称性来考察对应点的坐标关系，从而统整各组诱导公式。教材的编写处理体现了教材专家的集体智慧和版本教材的一贯特色，教师应该努力体会和把握，不宜轻率抛开教材另搞一套。2.切合学生的认知水平。利用学生熟悉的圆及其对称性研究三角函数的相关性质，符合学生的认知心理。同时，单位圆及其对称性的表象对学生推导诱导公式、理解公式之间的内在联系、形象记忆三角函数诱导公式都将起到事半功倍的效果。三、教学过程分析基于以上分析，我们确定了如下的本节课教学路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系围绕这个教学路线（当然也是学生的研究路线），我将教学分成6个环节并设计成问题串的形式，通过这些问题解构教材，让学生学习数学知识，培养数学能力，体会数学思想，积累数学经验。苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学4(必修)》第1.2.3节“三角函数的诱导公式”教学设计5/71.问题提出【教学安排】如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数求值问题。【问题1】求390°的正弦、余弦值。【设计意图】前面的学习中，已经将角的概念从锐角扩充到了任意角，学习了任意角三角函数的定义，接下来自然地会提出任意角的三角函数值怎么去求。于是，先安排求特殊值再过渡到一般情形比较符合学生的身心特点和认知规律，意在培养学生从特殊到一般归纳问题和抽象问题的能力，引导学生在求三角函数值时抓坐标、抓角终边之间的关系。同时，首先考虑+2kπ（k∈Z）与的三角函数值之间的关系，有助于学生理解三角函数被看成刻画现实世界中周期性变化的数学模型的确切含义。2．尝试推导【教学安排】如何利用对称推导出角π与角的三角函数之间的关系。【问题2】你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？【设计意图】对问题2的提问方式的设计主要是考虑到我们在研究问题的时候常常会研究它的逆命题、否命题、等价命题等。事实上问题2可以看成是“若两个角的终边相同，则它们的正弦值相同”的逆命题，即“若两个角的正弦值相同，则两个角的终边相同”。但这里是以问题的形式提出的，实际上教会了学生一种自己研究问题的方法。在得出角π与角的三角函数之间的关系后，提出：〖思考〗请大家回顾一下，刚才我们是如何获得这组公式(公式二)的？【设计意图】阶段小结，让学生将对称作为研究三角函数问题的一种方法使用。将上述研究过程进行梳理，得出“角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系”的研究路线图。3．自主探究【教学安排】如何利用对称推导出π+，与的三角函数值之间的关系。【问题3】两个角的终边关于x轴对称，你有什么结论？两个角的终边关于原点对称呢？【设计意图】从两个角的终边关于y轴对称的情况进行自然过渡，给学生留下了自主探究的空间，让他们再次经历公式的研究过程，从而得出公式三和四，并将问题2研究方法一般化。4．简单应用【教学安排】例题的练习、讲解。【例1】求下列各三角函数值：(1)sin76；(2)cos(60°)；（3）tan(855)。【设计意图】初步熟悉诱导公式的使用，让学生感悟在解决问题的过程中，如何合理的使用这几组公式。此外，引导学生注意同一个三角函数的求值问题可以采用不同的诱导公式，启发学生这些公式的内在关系和联系，体会数学方法的多样性。5．回顾反思【教学安排】开放式小结。【问题4】回顾一下，我们是怎样获得诱导公式的？研究的过程中，你有哪些体会？【设计意图】开放式小结，使得不同的学生有不同的学习体验和收获。这些问题的提出，侧重于诱导公式推导方法的回顾和反思，侧重于个体情感体验的分享和表达，从而区别于侧重于公式规律的总结和记忆。6．分层作业【教学安排】作业布置。【作业】苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学4(必修)》第1.2.3节“三角函数的诱导公式”教学设计6/71）阅读课本，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法。2）必做题：课本第23页第13题。3）选做题：（1）你能由公式二、三、四中的任意两组公式推导到另外一组公式吗？（2）角α和角β的终边还有哪些特殊的位置关系？你能探究出它们的三角函数值之间的关系吗？【设计意图】分层作业有利于不同层次的学生巩固知识，提升思维能力。阅读课本旨在引导学生教科书是学习的根本，阅读课本有利于培养学生良好的回归课本的学习习惯。而出现选做题目，目的是提供多元化和挑战性选择，促使学有余力的学生课后思考和自主探究几组公式之间的内在联系。四、教后思考分析1．关于设计定位的反思就三角函数的诱导公式来说，教学设计定位时一般会出现以下几种倾向：其一，定位于知识的学习，学生知道存在一些公式，可以将任意角的三角函数进行一些转化。其二，定位于公式的学习，学生努力分析和总结各组公式的形式规律，背诵“函数名不变，符号看象限”等口诀，追求灵活运用等解题能力的提高。公式理解强过公式记忆。关于公式规律的总结和口诀的记忆，当然很重要，但这不是第一节课的内容。我们可以在所有诱导公式都学习过后，再来总结不迟。此外，采用本课的利用对称性的方法来学习诱导公式，可以通过图