自动控制原理大作业

恒温箱自动控制系统的分析与实现（北京通大学机械与电子控制工程学院，北京100044）摘要：本文的主要内容是对恒温箱自动控制系统结构图进行分析，画出结构框图，算出传递函数。在对恒温箱自动控制系统仿真的基础上，在控制器选择，执行机构选型，对象的建模与时域和频域分析等方面进行全面、综合的分析，并对其进行频域校正，针对系统存在的问题找到合适的解决办法，构建校正网络电路，从而使得系统能够满足要求的性能指标。关键词：增益系统传递函数频域分析频域校正ConstanttemperatureboxautomaticcontrolsystemanalysisandImplementationZhangXinjie,JiaChengcheng,XianZhuo,ZhouJing,ShiZhen(SchoolofMechanical,ElectronicandControlengineering,BeijingJiaotongUniversity,Beijing100044，China)Abstract：Thesystemismainlytosolvetheproblemofconstanttemperatureboxautomaticcontrolsystemstructurediagramanalysis,drawthestructurediagram,calculatethetransferfunction.Intheconstanttemperatureboxautomaticcontrolsystembasedonthesimulation,inthecontroller,actuatorselection,objectmodelingandanalysisoftimedomainandfrequencydomainandotheraspectsofacomprehensive,integratedanalysis,andcarriesonthefrequencydomaincorrectionsystem,aimingattheexistingproblemstofindasuitablesolution,constructingacalibrationnetworkcircuit,therebyenablingthesystemtotomeettherequirementsofperformanceindex.Keywords:gaintransferfunctionofthesystemfrequencydomainanalysisfrequencydomaincorrection1工作原理及性能要求恒温箱自动控制系统的工作原理图如图1所示。图1恒温箱自动控制系统的工作原理图恒温箱实际温度由热电偶转换为对应的温度值。恒温箱期望温度由电压𝑢1给定，并与实际温度𝑢2比较得到温度差，即为温度偏差信号。温度偏差信号经电压、功率放大后，用以驱动执行电动机，并通过传动机构拖动调压器动触头。当温度偏高时,动触头向减小电流的方向运动,反之加大电流,直到温度达到给定值为止。此时，偏差∆u=0，电机停止转动。这样便可实现自动控制温度恒定的性能要求。控制系统中各环节及参数如下：（1）直流电机：励磁线圈电阻𝑟𝑓=20Ω，电感𝐿𝑓=2𝐻，扭矩常数𝐶𝑟=5(𝑁∙𝑚/𝐴)，𝑃1=0.85𝑘𝑊，𝑈𝑁=110𝑉，𝐼𝑁=9.8𝐴，𝑛𝑁=1500𝑟/𝑚𝑖𝑛（2）电压放大电路：电压放大电路图如图2所示。（3）功率放大电路：功率放大电路如图3所示图3功率放大电路（4）调压器电路：调压器电路如图4所示图4调压器电路要求系统相位裕量为40°±3°，过渡过程的调节时间不超过2秒，超调量不超过3%。2系统数学模型的建立与传递函数的求解2.1系统方框图图5恒温箱自动控制系统的组成框图图2电压放大电路图3功率放大电路2.2传递函数的求解2.2.1电压放大电路传递函数经简化后的电压放大电路如图6所示，由电压放大电路图可列出等式如公式（1）：𝑈0−𝑈2𝐶3||𝑅4=𝑈2𝑅5(1)由此求的传递函数为如公式（2）：G(s)=401.88×10−3𝑠+1(2)则得到电压放大电路的传递函数如公式（3）：𝐺1(𝑠)=401.88×10−3𝑠+1=401.88×10−3𝑠+1（3）图6电压放大简化电路图2.2.2功率放大电路传递函数功率放大器简化电路图如图7所示，根据功率放大电路图得：𝐺2(𝑠)=𝑈0𝑈𝑖=𝑅2𝑅1×𝑅4𝑅3=11×11×1=11=𝐾2（4）2.2.3调压器传递函数调压器为自耦变压器，其简化电路图如图8所示，则其匝比就是其传递函数如公式（5）：𝐺3(𝑠)=𝑈2𝑈1=𝑁2𝑁1(5)图7功率放大电路为便于计算令如公式（6）：𝐺3(𝑠)=𝐾3(6)图8调压器简化等效电路图2.2.4电动机传递函数执行电机的电路图如图9所示。电枢回路电压平衡方程如公式（7）𝑢𝑎(𝑡)=𝐿𝑎𝑑𝑖𝑎(𝑡)𝑑𝑡+𝑅𝑎𝑖𝑎(𝑡)+𝐸𝑎（7）式中𝐸𝑎是电枢旋转时产生的电势,其大小与激磁磁通成正比，方向一样电枢电压𝑢𝑎(𝑡)相反,即𝐸𝑎=𝐶𝑒𝑛(𝑡)，𝐶𝑒是反电势系数。电磁转矩方程如公式（8）𝑇𝑚(𝑡)=𝐶𝑚𝑖𝑎(𝑡)（8）式中，𝐶𝑚是电机转矩系数；𝑇𝑚(𝑡)是电枢电流产生的电磁转矩。电动机轴上的转矩平衡方程如公式（9）（令𝑇𝑚(𝑡)=𝑀𝑚(𝑡)）J𝑑𝑛(𝑡)𝑑𝑡+𝑓𝑚𝑛(𝑡)=𝑀𝑚(𝑡)−𝑀𝑐(𝑡)（9）式中，𝑓𝑚是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数；J是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。消去中间变量𝑖𝑎(𝑡)，𝐸𝑎及𝑀𝑚(𝑡)，便可得到以𝑛(𝑡)为输出量，𝑢𝑎(𝑡)为输入量的直流电动机微分方程如公式（10）：图9执行电机电路图𝐿𝑎𝐽𝑑2𝑤𝑚(𝑡)𝑑𝑡2+(𝐿𝑎𝑓𝑚+𝑅𝑎𝐽)𝑑𝑛(𝑡)𝑑𝑡+(𝑅𝑎𝑓𝑚+𝐶𝑚𝐶𝑒)𝑛(𝑡)=𝐶𝑚𝑢𝑎(𝑡)−𝐿𝑎𝑑𝑀𝑐(𝑡)𝑑𝑡−𝑅𝑎𝑀𝑐(𝑡)（10）在工程应用中，电枢电路电感aL较小，通常忽略不计，因而上式可简化为公式（11）τ𝑑𝑛(𝑡)𝑑𝑡+𝑛(𝑡)=𝐾𝑚𝑢𝑎(𝑡)−𝐾𝑐𝑀𝑐(𝑡)（11）式中，τ=𝑅𝑎𝐽/(𝑅𝑎𝑓𝑚+𝐶𝑚𝐶𝑒)是电动机的时间常数；𝐾𝑚=𝐶𝑚𝑅𝑎𝑓𝑚+𝐶𝑚𝐶𝑒，𝐾𝑐=𝑅𝑎(𝑅𝑎𝑓𝑚+𝐶𝑚𝐶𝑒)⁄是电动机传递系数。上面我们已经求的电枢控制直流电动机简化后的微分方程如公式（12）：T𝑑𝑛(𝑡)𝑑𝑡+𝑛(𝑡)=𝐾1𝑢𝑎(𝑡)−𝐾2𝑀𝑐(𝑡)（12）式中𝑀𝑐(𝑡)可视为负载扰动转矩。根据线性系统的叠加原理，可分别求𝑢𝑎(𝑡)到𝑛(𝑡)和𝑀𝑐(𝑡)到𝑛(𝑡)的传递函数，以便研究在𝑢𝑎(𝑡)和𝑀𝑐(𝑡)分别作用下的电动机转速𝑛(𝑡)的性能，将他们叠加后，便是电动机转速的相应特性。由传递函数定义，于是有公式（13）𝐺4(𝑠)=𝐾𝑚𝜏(𝑠)+1(13)下图是它的方框图图10：tUsms根据题目所给条件得到电机传递函数如公式（14）：𝐺4(𝑠)=1.6𝑠(0.48𝑠+1)(14)2.2.5减速器部分传递函数减速器部分为典型的比例环节，传递函数可直接得出。其中j为减速器传动比。由已知可得到公式（15）：𝐺5(𝑠)=𝐾′5𝑗=𝐾′58(15)2.3系统总传递函数及框图系统框图如图11所示。由以上所求各部分的传递函数可得到本系统的总传递函数如公式（16）：G(s)=𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐺3(𝑠)𝐺4(𝑠)𝐺5(𝑠)=401.88×10−3𝑠+1𝐾2𝐾31.6𝑠(0.48𝑠+1)𝐾′5𝑗(16)400.00188𝑠+1𝐾581.6𝑠(0.48𝑠+1)-1图11系统方框图图10执行电机系统方框图整理得公式（17）：G(s)=𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐺3(𝑠)𝐺4(𝑠)𝐺5(𝑠)=𝑊𝑘=𝐾𝑘𝑠(0.0018𝑠+1)(0.48𝑠+1)(17)其中，𝑘𝑘为开环增益，根据系统参数，可计算得𝑘𝑘=180。3系统时域和频域分析待校正系统传递函数如公式（18）：G(s)=180𝑠(1.88×10−3𝑠+1)(0.48𝑠+1)=1800000864𝑠3+0.4818𝑠2+𝑠(18)系统时域分析：画出时序函数图像如图12，闭环传递函数为𝑊𝐵=𝑊𝑘1+𝑊𝑘图12恒温箱自动控制系统单位阶跃响应时序图与仿真图根据图像，可以得出调节时间为𝑡𝑠=5.37𝑠2𝑠，超调量𝜎𝑝=88%3%。所以，该系统没有达到预定要求。为了分析𝑘𝑘对系统的影响，分别绘制出𝑘𝑘=5，50，180时的单位阶跃响应时序图，如图13，其中，开环传递函数为𝑊𝑘=𝐾𝑘𝑠(0.0018𝑠+1)(0.48𝑠+1)图13不同𝐾𝑘单位阶跃响应时序图由图分析可得，随着𝑘𝑘不断增大，调节时间𝑡𝑠不断增大，超调量也不断增大，但对于I型系统稳态误差减小；随着𝑘𝑘不断减小，超调量减小，调节时间𝑡𝑠减小，但是稳态误差增大。因此，为了改善系统的性能参数，单纯地增大或者减小𝑘𝑘是不可取的。系统频域分析：然后，画出待校正系统的对数幅频特性bode图，如图14所示。图14系统伯德图从图中可以得出，系统穿越频率为𝜔𝑐=20.8rad/s，对应的相角为𝜑𝑐=−176°，由此可以得出系统相位裕量为𝛾=180°+𝜑𝑐=180°−176°=4°≤40°±3°因此，对于相位裕量，系统不能达到预定要求，要进行校正。系统根轨迹：𝑊𝑘=𝑘𝑔𝑠(𝑠+556)(𝑠+2.08)系统的开环极点分别为0，-2.08，-556，绘制出其根轨迹如图15：图15系统根轨迹图可见，系统在𝑘𝑔≤6.64×105时均是稳定的，但是随着𝑘𝑔不断增大，系统稳定裕量不断降低，系统趋于不稳定的趋势越高。4系统的校正校正过程如下：（1）选择新的穿越频率𝜔𝑐‘从伯德图上可以看出，当ω=2.04rad/s时，相位移为−135°，此时系统有45°的相位裕量。这样，选择𝜔𝑐‘=2.04rad/s，可采用滞后引前校正电路进行校正。（2）确定滞后引前校正电路相位滞后部分设交接频率为𝜔1=1/𝑇𝑖,选择在穿越频率的十分之一处，即𝜔1=0.204rad/s，并且选择𝛾=10,则交接频率𝜔0=1/𝛾，𝑇𝑖=0.0204rad/s，所以，滞后-引前校正电路相位滞后部分的传递函数可写成𝑠+0.204𝑠+0.0204=10（4.90𝑠+149.0𝑠+1）（3）相位引前部分的确定因为新的穿越频率𝜔𝑐′=2.04rad/s，从原传递函数伯德图可以求出𝑊(𝑗𝜔𝑐‘)=36𝑑𝐵。因此，如果滞后-引前校正电路在𝜔𝑐′=2.04rad/s处产生−36dB的增益，则𝜔𝑐′即为所求。据此，通过点（2.04rad/s，—36dB）可以画出一条斜率为20dB/十倍频的直线与0dB线及-20dB的交点，就确定了所求的交接频率。故得相位引前部分的交接频率𝜔2=12.87𝑟𝑎𝑑/𝑠，𝜔3=128.7𝑟𝑎𝑑/𝑠。所以引前部分的传递函数为𝑠+12.87𝑠+128.7（4）滞后—引前校正装置的传递函数为𝑊𝑐=𝑠+12.87𝑠+128.7𝑠+0.204𝑠+0.0204（5）校正后系统的开环传递函数为：𝑊𝑘𝑊𝑐=180𝑠(0.0018𝑠+1)(0.48𝑠+1)𝑠+12.87𝑠+12